Definicja 1

Wielokąt

Wielokąt to figura geometryczna na płaszczyźnie, ograniczona łamaną zwyczajną zamkniętą, składającą się z co najmniej trzech odcinków (zwanych bokami), które łączą się w punktach zwanych wierzchołkami, wraz z tą łamaną.

Uwaga 1

Uwaga

Wielokąt składa się zarówno z punktów na jego bokach, jak i z wszystkich punktów wewnętrznych, tj. ograniczonych tymi bokami.

Definicja 2

Przekątna wielokąta

Przekątną wielokąta nazywamy dowolny odcinek łączący dowolne dwa niesąsiadujące ze sobą wierzchołki tego wielokąta (nie będący bokiem tego wielokąta).

Definicja 3

Kąt wewnętrzny wielokąta wypukłego

Niech dany będzie wielokąt wypukły W=A_1A_2A_3\ldots A_n. Kątem wewnętrznym przy wierzchołku A_i nazywamy kąt utworzony przez dwa sąsiednie boki wielokąta A_{i-1}A_i oraz A_iA_{i+1} zawierający dany wielokąt.

Definicja 4

Kąt zewnętrzny wielokąta wypukłego

Niech dany będzie wielokąt wypukły W=A_1A_2A_3\ldots A_n. Kątem zewnętrznym przy wierzchołku A_i nazywamy kąt przyległy do kąta wewnętrznego \alpha_i, utworzony przez jeden bok wielokąta A_{i-1}A_i lub A_iA_{i+1} oraz przedłużenie drugiego boku poza wierzchołek A_i.

Definicja 5

Wielokąt foremny

Wielokątem foremnym nazywamy wielokąt w którym wszystkie boki są równe wszystkie kąty są jednakowej miary.

Przykład 1

Przykład

Definicja 6

Wielokąt wypukły

Wielokątem wypukłym nazywamy wielokąt w którym każdy kąt wewnętrzny jest mniejszy niż 180^\circ (odcinek łączący dowolne dwa punkty tego wielokąta jest w nim całkowicie zawarty).

Definicja 7

Wielokąt wklęsły

Wielokątem wypukłym nazywamy wielokąt który ma przynajmniej jeden kąt wewnętrzny większy niż 180^\circ (przynajmniej jeden z odcinków łączących dwa dowolne punkty tego wielokąta nie jest w nim całkowicie zawarty).

Twierdzenie 1

Własności wielokąta

W dowolnym wielokącie W liczba jego wierzchołków jest równa liczbie boków i liczbie kątów. Dodatkowo, że przyjmując W=A_1A_2A_3\ldots A_n jest wielokątem o n wierzchołkach (n\ge3) oraz n bokach, zachodzi:

Suma miar kątów wewnętrznych wielokąta wypukłego wynosi:
(0)S=\left(n-2\right) \cdot 180^\circ
Suma miar wszystkich kątów zewnętrznych wielokąta wypukłego, mierzonych w tym samym kierunku, zawsze wynosi 360^\circ .
Liczba przekątnych wielokąta n-kątnego wynosi:
(0)\displaystyle d= \frac{n\left(n-3\right)}{2}
Jeżeli wielokąt jest foremny, to:
- Miara każdego kąta wewnętrznego wynosi:
  (0)\alpha= \frac{(n-2) \cdot 180^\circ }{n}
- Miara każdego kąta zewnętrznego wynosi:
  (0)\beta= \frac{360^\circ }{n}

Twierdzenie 2

O liczbie przekątnych wielokąta

Liczba przekątnych n-kąta wypukłego wynosi:

(0)\displaystyle d= \frac{n\left(n-3\right)}{2}

Uwaga 2

Uwaga

W przypadku wielokątów wklęsłych, niektóre przekątne leżą poza wielokątem.

Definicja 8

Okrąg opisany na wielokącie

Okrąg opisany na wielokącie to okrąg na którym leżą wszystkie wierzchołki tego wielokąta (środek okręgu jest równo oddalony od wierzchołków wielokąta).

Twierdzenie 3

O sześciokącie foremnym

Sześciokąt foremny o boku długości a składa się z 6 trójkątów równobocznym o boku długości a.

Twierdzenie o liczbie przekątnych wielokąta wypukłego