Definicja 1

Równanie liniowe z jedną niewiadomą

Równaniem liniowym z jedną niewiadomą x nazywamy równanie postaci (lub równanie równoważne które można przekształcić do tej postaci):

(0)ax+b=0,

gdzie a,b\in\mathbb{R}. Jeżeli a\neq 0 to równanie nazywamy równaniem pierwszego stopnia z jedną niewiadomą.

Uwaga 1

Uwaga

Dziedziną równania liniowego jest \mathbb{R}.

Uwaga 2

Równanie pierwszego stopnia

Równanie liniowe nazywamy również równaniem pierwszego stopnia, gdzie przez stopień równania rozumiemy potęgę w jakiej występuje niewiadoma x.

Uwaga 3

Uwaga

Dziedziną równania liniowego jest zbiór liczb rzeczywistych.

Uwaga 4

Uwaga

Rozwiązania równania liniowego liczymy analogicznie do szukania miejsc zerowych funkcji linowej.

Definicja 2

Wykres równania pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi

Wykresem równania pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi x i y nazywamy zbiór punktów \left(x,y\right), których współrzędne spełniają to równanie.

Twierdzenie 1

O wykresie równania pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi

Wykresem równania pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi x i y jest prosta.

Liczba rozwiązań równania liniowego

Równanie liniowe może mieć:

dokładnie jedno rozwiązanie - dzieje się tak gdy a\neq0. Wówczas rozwiązanie dane jest wzorem:
(0)x=-\frac{b}{a}
nieskończenie wiele rozwiązań (równanie tożsamościowe\nieokreślone) - dzieje się tak, gdy po przekształceniu do postaci równoważnej otrzymujemy równanie 0=0 bądź ogólnie a=a dla pewnej stałej a\in\mathbb{R}.
brak rozwiązań (równanie sprzeczne) - dzieje się tak, gdy po przekształceniu do postaci równoważnej otrzymujemy równanie a=b dla pewnych a,b\in\mathbb{R}, a\neq b.

Twierdzenie 2

Rozwiązanie równania liniowego z jedną niewiadomą

Równanie liniowe ax+b=0 gdzie a,b\in\mathbb{R}:

ma dokładnie jedno rozwiązanie, gdy a\neq 0 i jest ono dane wzorem
(0)x=- \frac{b}{a}
ma nieskończenie wiele rozwiązań gdy a=0 oraz b=0,
nie ma rozwiązań gdy a=0 oraz b\neq 0.

Twierdzenie o liczbie rozwiązań równania liniowego