Definicja 1

k- elementową wariacją bez powtórzeń n-elementowego zbioru A nazywamy dowolny k-wyrazowy ciąg (k\le n) utworzony z różnych elementów zbioru A.

Uwaga 1

Zauważ, że to co odróżnia wariację bez powtórzeń od permutacji to fakt, że wariacja nie musi zawierać wszystkich elementów zbioru. Z tego też powodu:

każda permutacja n-elementowego zbioru jest też jego n-elementową wariacją bez powtórzeń, ale nie każda k-elementowa wariacja zbioru jest jego permutacją (tylko gdy k=n).
Liczba wariacji zbioru n-elementowego n>1 jest większa niż liczba jego permutacji.

Twierdzenie 1

Liczba k-elementowych wariacji bez powtórzeń zbioru n-elementowego wyraża się wzorem (k\le n):

(0)V_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}=n\cdot (n-1)\cdot \ldots\cdot(n-(k-1))

Uwaga 2

Każda n-elementowa wariacja bez powtórzeń zbioru n-elementowego jest jego permutacją.

Przykład 1

2-elementowe wariacje bez powtórzeń zbioru 3-elementowego: \left\{a,b,c\right\}
(0)\begin{array}{ccc} ab & ba & ca\\ ac & bc &cb \end{array}(0)V_3^2= \frac{3!}{\left(3-2\right)!}= \frac{6}{1!}=6
2-elementowe wariacje bez powtórzeń zbioru 4-elementowego: \left\{a,b,c,d\right\}
(0)\begin{array}{cccc} ab & ba & ca & da \\ ac & bc & cb & db \\ ad & bd & cd & dc \end{array}(0)V_4^2= \frac{4!}{\left(4-2\right)!}= \frac{24}{2}=12
3-elementowe wariacje bez powtórzeń zbioru 4-elementowego: \left\{a,b,c,d\right\}
(0)\begin{array}{cccc} abc & bac & cab &dab\\ abd & bad & cad & dac\\ acb & bca & cba & dba \\ acd & bcd & cbd & dbc \\ adb & bda & cda & dca \\ adc & bdc & cdb & dcb \end{array}(0)V_4^3= \frac{4!}{\left(4-3\right)!}= \frac{24}{1!}=24

Twierdzenie o liczbie wariacji bez powtórzeń