Definicja 1

Wariacja z powtórzeniami

k-elementową wariacją z powtórzeniami n-elementowego zbioru A, gdzie k\in\mathbb{N_+}, nazywamy dowolny k-wyrazowy ciąg utworzony z elementów zbioru A, w którym każdy element może się powtarzać.

Twierdzenie 1

Liczba wariacji z powtórzeniami

Liczba k-elementowych wariacji z powtórzeniami zbioru n-elementowego wyraża się wzorem:

(0)W_n^k=n^k

Uwaga 1

Wariacja bez powtórzeń i z powtórzeniami

Ponieważ w przypadku wariacji z powtórzeniami elementy zbioru mogą występować wielokrotnie, liczba k-elementowych wariacji z powtórzeniami jest większa niż tych bez powtórzeń. Dodatkowo, liczba elementów występujących w wariacji może być większa niż liczebność zbioru, tj. k>n.

Przykład 1

Przykład

3-elementowe wariacje z powtórzeniami zbioru 2-elementowego: \left\{a,b\right\}
(0)\begin{array}{cc} aaa & baa\\ aab & bab \\ aba & bba \\ abb & bbb \end{array}(0)W_2^3= 2^3=8
2-elementowe wariacje z powtórzeniami zbioru zbioru 3-elementowego: \left\{a,b,c\right\}
(0)\begin{array}{ccc} aa & ba & ca \\ ab & bb & cb \\ ac & bc &cc \end{array}(0)W_3^2= 3^2=9

Twierdzenie o liczbie wariacji z powtórzeniami