Jedną z najczęściej stosowanych metod rozwiązywania układów równań jest metoda podstawiania. Polega ona na tym, że z jednego równania obliczamy wartość jednej z niewiadomych, a następnie wstawiamy ją do drugiego równania. Alternatywnie, można skorzystać z tzw. metody przeciwnych współczynników. Ta metoda polega na takim przekształceniu obu równań, aby współczynniki przy tej samej niewiadomej były liczbami przeciwnymi. Następnie dodaje się równania stronami, co prowadzi do uzyskania równania z jedną niewiadomą.

Z innych metod możemy również wyróżnić metodę graficzną która polega na przedstawieniu równań w postaci wykresów i odnalezieniu punktu przecięcia tych wykresów (o ile istnieje). Każde równanie w układzie jest interpretowane jako prosta (dla równań liniowych) lub inna krzywa (dla bardziej złożonych równań) na układzie współrzędnych.

Metoda podstawiania

W metodzie podstawiania należy:

z dowolnego równania wyznaczyć jedną z niewiadomych x lub y, tj. zapisać równanie jako x=... lub y=..., gdzie po prawej stronie już nie występuje wyznaczona niewiadoma (wybieramy takie równanie oraz niewiadomą, które pozwolą nam to zrobić możliwie najszybciej, bez niepotrzebnych przekształceń),
podstawiać wyznaczoną niewiadomą (załóżmy, że x) do drugiego równania otrzymując w ten sposób równanie z jedną niewiadomą y,
z drugiego równania obliczyć wartość liczbową niewiadomej y,
podstawić obliczoną wartość y do pierwszego równania, otrzymując w ten sposób wartość liczbową x,
rozwiązaniem układu równań jest obliczona para liczb (x,y).

Twierdzenie 1

O metodzie podstawiania

Jeżeli z jednego równania danego układ równań wyznaczymy jedną z niewiadomych i podstawimy otrzymane wyrażenie do drugiego równania w miejsce tej niewiadomej, to układ równań składający się z pierwszego równania i otrzymanego w ten sposób drugiego równania jest równoważny początkowemu układowi.

Metoda przeciwnych współczynników

W metodzie przeciwnych współczynników należy:

przekształcić oba równania w równania równoważne, tak aby przy jednej ze zmiennych występowały przeciwne współczynniki (załóżmy, że przy x),
dodać stronami oba równania otrzymując w ten sposób równanie z jedną niewiadomą y,
z otrzymanego równania obliczyć wartość liczbową y,
podstawić obliczoną wartość y do dowolnego równania z początkowego układu oraz wyznaczenie wartości liczbowej niewiadomej x,
rozwiązaniem układu równań jest obliczona para liczb (x,y).

Twierdzenie 2

O metodzie przeciwnych współczynników

Jeżeli w układzie równań:

obie strony jednego z równań pomnożymy przez dowolną liczbę różną od 0 oraz obie strony drugiego równania również pomnożymy przez liczbę różną od 0
otrzymane w ten sposób równania dodamy do siebie stronami
otrzymanym wyżej równaniem zastąpimy dowolne równanie z początkowego układu

to otrzymany w ten sposób układ równań jest równoważny początkowemu układowi.

Uwaga 1

Metoda przeciwnych współczynników

Metoda przeciwnych współczynników sprawdza się przede wszystkim wtedy, gdy od razu dostrzegamy przeciwne współczynniki lub gdy układ można łatwo przekształcić do takiej postaci. W ogólnym ujęciu to jednak metoda podstawiania jest częściej wybierana.

Metoda graficzna

W metodzie graficznej należy:

z obu równań wyznaczyć jedną z niewiadomych, tj. zapisać równania jako x=\ldots lub y=\ldots, gdzie po prawej stronie już nie występuje wyznaczona niewiadoma,
narysować obie proste w układzie współrzędnych,
określić ilość punktów wspólnych obu prostych w oparciu o ich położenie:
- proste przecinają się, czyli mają jeden punkt wspólny. W takim wypadku układ jest oznaczony, a jego rozwiązaniem jest punkt przecięcia się prostych,
- proste nakładają się na siebie, czyli maja nieskończenie wiele punktów wspólnych. W takim wypadku układ jest nieoznaczony i ma nieskończenie wiele rozwiązań,
- proste są równoległe, czyli nie mają punktów wspólnych. W takim wypadku układ jest sprzeczny i nie ma rozwiązań.

Uwaga 2

Metoda graficzna

Metodę graficzną rozwiązywania układów równań należy traktować jako narzędzie pomocnicze, gdyż jego dokładność zależy od jakości wykonania wykresu oraz tego czy rozwiązanie układu równań jest punktem kratowym układ współrzędnych.

Twierdzenie 3

O rozwiązaniu układu równań z dwiema niewiadomymi

Rozwiązaniem układu równań

(0)\begin{cases} a_1x+b_1y=c_1\\ a_2x+b_2y=c_2 \end{cases}

gdzie a_1,a_2,b_1,b_2,c_1,c_2\in\mathbb{R}, a_1\neq0 oraz (a_1b_2-a_2b_1)\neq0 jest para liczb:

(0)\begin{cases} x = \frac{b_2c_1 - b_1c_2}{a_1b_2 - a_2b_1} \\ y = \frac{a_1c_2 - a_2c_1}{a_1b_2 - a_2b_1} \end{cases}

Dowód

Sposób I (metoda podstawiania)

Z pierwszego równania wyznaczamy x:

(0)x = \frac{c_1 - b_1y}{a_1}, \quad (a_1\neq0)

Podstawiamy wyznaczone x do drugiego równania i przekształcamy wyznaczając y:

(0)\begin{aligned} \begin{cases} x=\frac{c_1 - b_1y}{a_1}\\ a_2\frac{c_1 - b_1y}{a_1}+b_2y=c_2 \quad\backslash\cdot a_1 \end{cases}&\Rightarrow \begin{cases} x=\frac{c_1 - b_1y}{a_1} \\ a_2 (c_1 - b_1y) + a_1b_2y = a_1c_2 \end{cases}\\&\Rightarrow \begin{cases} x=\frac{c_1 - b_1y}{a_1} \\ a_2c_1 - a_2b_1y + a_1b_2y = a_1c_2 \end{cases}\\&\Rightarrow \begin{cases} x=\frac{c_1 - b_1y}{a_1} \\ - a_2b_1y + a_1b_2y = a_1c_2 - a_2c_1 \end{cases}\\&\Rightarrow \begin{cases} x=\frac{c_1 - b_1y}{a_1} \\ y (a_1b_2 - a_2b_1) = a_1c_2 - a_2c_1 \end{cases} \end{aligned}

Zakładając, że (a_1b_2-a_2b_1)\neq0 dostajemy:

(0)\begin{cases} x=\frac{c_1 - b_1y}{a_1} \\ y = \frac{a_1c_2 - a_2c_1}{a_1b_2 - a_2b_1} \end{cases}

Podstawiając obliczone y do pierwszego równania:

(0)\begin{aligned} \begin{cases} x=\frac{c_1 - b_1y}{a_1} \\ y (a_1b_2 - a_2b_1) = a_1c_2 - a_2c_1 \end{cases} \end{aligned}(0)\begin{aligned} x &= \frac{c_1 - b_1y}{a_1}\\&= \frac{c_1 - b_1 \frac{a_1c_2 - a_2c_1}{a_1b_2 - a_2b_1}}{a_1}\\ &=\frac{c_1(a_1b_2 - a_2b_1) - b_1(a_1c_2 - a_2c_1)}{a_1 (a_1b_2 - a_2b_1)}\\ &=\frac{a_1b_2c_1 - a_2b_1c_1 - a_1b_1c_2 + a_2b_1c_1}{a_1(a_1b_2 - a_2b_1)}\\ &=\frac{a_1b_2c_1 - a_1b_1c_2 }{a_1(a_1b_2 - a_2b_1)}\\ &=\frac{b_2c_1 - b_1c_2}{a_1b_2 - a_2b_1} \end{aligned}

Sposób II (metoda przeciwnych współczynników)
Wyeliminujemy x mnożąc pierwsze równanie przez a_2 a drugie przez a_1 otrzymujemy:

(0)\begin{cases} a_1x+b_1y=c_1\quad\backslash a_2\\ a_2x+b_2y=c_2\quad\backslash a_1 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a_1a_2x+a_2b_1y=a_2c_1\\ a_1a_2x+a_1b_2y=a_1c_2 \end{cases}

Odejmujemy stronami równania i otrzymujemy:

(0) a_2b_1y-a_1b_2y=a_2c_1-a_1c_2

Wyznaczamy y:

(0)y (a_2b_1 - a_1b_2) = a_2c_1 - a_1c_2\Rightarrow y = \frac{a_2c_1 - a_1c_2}{a_2b_1 - a_1b_2}

Wstawiamy obliczone y do pierwszego równania:

(0)a_1x + b_1 \left( \frac{a_2c_1 - a_1c_2}{a_2b_1 - a_1b_2} \right) = c_1(0)a_1x = c_1 - \frac{b_1 (a_2c_1 - a_1c_2)}{a_2b_1 - a_1b_2}(0)a_1x = \frac{c_1 (a_2b_1 - a_1b_2) - b_1 (a_2c_1 - a_1c_2)}{a_2b_1 - a_1b_2} (0)a_1x = \frac{a_2b_1c_1 - a_1b_2c_1 - a_2b_1c_1 + a_1b_1c_2}{a_2b_1 - a_1b_2} (0)a_1x = \frac{a_1b_1c_2 - a_1b_2c_1}{a_2b_1 - a_1b_2}

Wreszcie dzieląc obustronnie przez a_1:

(0)x = \frac{b_1c_2 - b_2c_1}{a_2b_1 - a_1b_2}=\frac{b_2c_1-b_1c_2}{a_1b_2-a_2b_1 }

Twierdzenie o metodzie podstawiania