Definicja 1

Okrąg opisany na trójkącie

Okrąg opisany na trójkącie to okrąg, którego wszystkie wierzchołki leżą na tym okręgu (środek okręgu jest równo oddalony od wierzchołków trójkąta).

Twierdzenie 1

O okręgu opisanym na trójkącie

symetralne boków trójkąta przecinają się w jednym punkcie będącym środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie,
długość promienia okręgu opisanego na trójkącie o o bokach długości a,b,c dany jest wzorem:
(0)R=\frac{abc}{4P}
lub
(0)R= \frac{a}{2\sin\alpha}
gdzie P to pole trójkąta. Pole trójkąta wynosi zatem:
(0)P=\frac{abc}{4R}
Środek okręgu opisanego na trójkącie leży:
- wewnątrz trójkąta, gdy trójkąt jest ostrokątny,
- w połowie przyprostokątnej, gdy trójkąt jest prostokątny,
- na zewnątrz trójkąta, gdy trójkąt jest rozwartokątny

W trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna jest średnicą okręgu opisanego na tym trójkącie zatem środek okręgu jest również środkiem przeciwprostokątnej.
W trójkącie równoramiennym środek okręgu opisanego na tym trójkącie leży na prostej zawierającej wysokość poprowadzoną na podstawę.
Długość promienia opisanego na trójkącie równobocznym wynosi
(0)R= \frac{2}{3}h= \frac{a\sqrt{3}}{3}

Twierdzenie o okręgu opisanym na trójkącie