Definicja 1

Okrąg wpisany w trójkąt to okrąg, który jest styczny do wszystkich boków trójkąta (środek okręgu jest równo oddalony od boków trójkąta).

Uwaga 1

Zamiast mówić że okrąg został wpisany w trójkąt, możemy powiedzieć, że trójkąt został opisany na okręgu.

Twierdzenie 1

Dwusieczne kątów wewnętrznych w trójkącie przecinają się w jednym punkcie będącym środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt.

Dodatkowo, długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt jest równa odległości środka okręgu od dowolnego boku tego trójkąta.

Twierdzenie 2

Długość r promienia okręgu wpisanego w trójkąt o bokach długości a,b,c dany jest wzorem:

(0)\begin{aligned} \displaystyle r&=\sqrt{\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}\\ \end{aligned}

lub

(0)r= \frac{2P}{a+b+c} ,

lub

(0)r= \frac{P}{p}

gdzie P to pole trójkąta, a p to połowa obwodu tego trójkąta:

(0)p=\frac{a+b+c}{2}

Twierdzenie 3

Pole trójkąta o obwodzie a+b+c opisanego na okręgu o promieniu długości r wynosi:

(0)P=\frac{a+b+c}{2}\cdot r

Twierdzenie 4

Środek okręgu wpisanego w trójkąt równoramienny leży na wysokości poprowadzonej na podstawę.

Twierdzenie 5

Promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny wyraża się wzorem:

(0)r=\frac{a\sqrt{3}}{6}

Dodatkowo, dwusieczne kątów zawierają wysokości tego trójkąta zatem środek okręgu jest również punktem przecięcia się tych wysokości.

Twierdzenie 6

Długość r promienia okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości a i b oraz przyprostokątnej długości c dany jest wzorem:

(0)r=\frac{a+b-c}{2}

Twierdzenie o promieniu okręgu wpisanego w trójkąt