Definicja 1

Wektor

Wektorem (zaczepionym) nazywamy uporządkowaną parę punktów [A,B] z których A=(x_a, y_a) jest początkiem wektora (zwany również punktem zaczepienia), a B=(x_b, y_b) jest końcem wektora. Wektory oznaczamy małymi literami \vec{u},\vec{v},\vec{w}, \ldots lub za pomocą punktu początkowego oraz końcowego \overrightarrow{AB} , a graficznie przedstawiane są w postaci strzałki (odcinka o początku w punkcie A i zakończonego grotem w punkcie B).

Każdy wektor jest jednoznacznie wyznaczony przed trzy cechy:

długość
kierunek
zwrot

Dodatkowo, jeżeli wektor ma początek w konkretnym punkcie, to nazywamy go zaczepionym. W przeciwnym razie mówimy o wektorze swobodnym.

Definicja 2

Wektor zerowy

Wektorem zerowym \overrightarrow{0} nazywamy wektor którego początek i koniec są tym samym punktem. Jego długość wynosi 0 a na płaszczyźnie oznaczamy go za pomocą punktu.

Definicja 3

Długość wektora

Długością wektora \overrightarrow{AB} nazywamy długość odcinka |AB| i oznaczamy ją |\overrightarrow{AB}|. Długość wektora o współrzędnych \vec{u}=[a,b] dana jest wzorem:

(0)|\vec{u}|=\sqrt{a^2+b^2}

Definicja 4

Wektory równoległe

Mówimy, że dwa wektory są równoległe (lub: mają ten sam kierunek), jeżeli leżą na tej samej prostej lub na dwóch prostych równoległych.

Uwaga 1

Uwaga

Wektor \overrightarrow{0} nie ma kierunku ani zwrotu.

Definicja 5

Wektory równe

Mówimy, że dwa wektory są równe, jeżeli mają ten sam zwrot, kierunek i długość.

Definicja 6

Wektor swobodny

Wektor swobodny to zbiór wszystkich wektorów równych danemu wektorowi.

Definicja 7

Suma wektorów

Sumą wektorów \overrightarrow{u} i \overrightarrow{v} nazywamy wektor \overrightarrow{u+v}, którego początek pokrywa się z początkiem wektora \overrightarrow{u}, a koniec odpowiada końcowi wektora \overrightarrow{v} zaczepionego w końcu wektora \overrightarrow{u}.

Definicja 8

Reguła równoległoboku

Jeśli dane są dwa wektory \vec{u} i \vec{v} zaczepione w tym samym punkcie, to ich suma (wynik dodawania) jest wektorem odpowiadającym przekątnej równoległoboku, którego bokami są te dwa wektory.

Definicja 9

Wektory przeciwne

Mówimy, że dwa wektory są przeciwne, jeżeli ich suma jest wektorem zerowym. Wektor przeciwny do wektora \overrightarrow{u} oznaczamy -\overrightarrow{u}.

Uwaga 2

Odejmowanie wektorów

Odejmowanie wektora \overrightarrow{v} odbywa się poprzez dodanie wektora przeciwnego -\overrightarrow{v}.

Twierdzenie 1

O przeciwności wektorów

Dwa niezerowe wektory \overrightarrow{u} i \overrightarrow{v} są przeciwne wtedy i tylko wtedy, gdy mają taki sam kierunek i długość, ale przeciwne zwroty.

Definicja 10

Działania na wektorach

Niech dane będą wektory \vec{u}=[a,b] oraz \vec{v}=[c,d]. Wówczas:

Sumą wektorów \vec{u} i \vec{v} jest wektor
(0)\vec{u}+\vec{v}=[a+c, b+d]
Różnicą wektorów \vec{u} i \vec{v} jest wektor:
(0)\vec{u} - \vec{v}=[a-c, b-d]
Iloczynem wektora \vec{u} przez liczbę \alpha\in\mathbb{R} jest wektor:
(0)\alpha\vec{u}=[\alpha a, \alpha b]

Wektor [0,0] nazywamy wektorem zerowym i oznaczamy go symbolem \vec{0}.

Definicja 11

Wektor jednostkowy

Wektorem jednostkowym nazywamy wektor którego długość jest równa 1.

Twierdzenie 2

O przeciwności wektorów

Dwa niezerowe wektory \overrightarrow{u} i \overrightarrow{v} są przeciwne wtedy i tylko wtedy, gdy są równoległe, mają przeciwne zwroty oraz taką samą długość.

Definicja 12

Iloczyn wektora i liczby

Iloczynem niezerowego wektora \overrightarrow{u} i liczby k\neq 0 nazywamy wektor równoległy do wektora \overrightarrow{u} o długości |k| \cdot |\overrightarrow{u}| oraz zwrocie:

zgodnym ze zwrotem wektora \overrightarrow{u} jeżeli k>0,
przeciwnym do zwrotu wektora \overrightarrow{u} jeżeli k<0.

Iloczyn \overrightarrow{u} i k oznaczamy k \cdot \overrightarrow{u}.

Przyjmujemy, że \overrightarrow{0}\cdot k=\overrightarrow{0} oraz \overrightarrow{u} \cdot 0=\overrightarrow{0}.

Twierdzenie 3

Własności działań na wektorach

Dla dowolnych wektorów \overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w} oraz dowolnych k,l\in\mathbb{R} zachodzą następujące własności działań na wektorach:

przemienność dodawania:
(0)\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}
łączność dodawania
(0)\overrightarrow{u}+(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w})=(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})+\overrightarrow{w }
łączność mnożenia skalarnego
(0)k \cdot (l \cdot \overrightarrow{u})=(k \cdot l) \cdot \overrightarrow{u}
rozdzielność mnożenia względem dodawania skalarów
(0)(k+l) \cdot \overrightarrow{u}=k \cdot \overrightarrow{u}+l \cdot \overrightarrow{u}
rozdzielnością mnożenia skalarnego względem dodawania wektorów
(0)k \cdot ( \overrightarrow{u}+ \overrightarrow{v})=k \cdot \overrightarrow{u}+k \cdot \overrightarrow{u}

Definicja 13

Powinowactwo prostokątne

Powinowactwem prostokątnym o osi s i skali k\neq0 nazywamy przekształcenie geometryczne w którym obrazem dowolnego punktu A jest punkt A' taki że

(0)AA'\perp s\quad\text{oraz}\quad \overrightarrow{PA'}=k \cdot \overrightarrow{PA}

gdzie P jest punktem przecięcia prostej AA' oraz prostej s.

Twierdzenie 4

O obrazie prostej w powinowactwie prostokątnym

W powinowactwie prostokątnym obrazem dowolnej prostej jest prosta.

Twierdzenie o przeciwności wektorów