Definicja 1

Równoległobok

Równoległobokiem (“kopniętym prostokątem”) nazywamy czworokąt który ma dwie pary boków równoległych.

Uwaga 1

Uwaga

Każdy prostokąt (i kwadrat) jest równoległobokiem, ale nie każdy równoległobok jest prostokątem (lub kwadratem)!

Definicja 2

Wysokość równoległoboku

Wysokością równoległoboku nazywamy każdy odcinek łączący równoległe boki równoległoboku (lub ich przedłużenia) i będący do nich prostopadły.

Definicja 3

Podstawa równoległoboku

Podstawą równoległoboku nazywamy bok równoległoboku do którego została poprowadzona wysokość z wierzchołka równoległoboku.

Uwaga 2

Uwaga

Wysokością równoległoboku nazywamy również długość odcinka z powyższej definicji. Dodatkowo, ponieważ równoległobok ma dwie pary boków równoległych, to może mieć dwie różne wysokości.

Zauważ, że jeżeli równoległobok o podstawie a i wysokości h przetniemy na dwie części wzdłuż wzdłuż wysokości h, to możemy złożyć z nich prostokąt o bokach długości a i h. Pole równoległoboku jest zatem równe polu tego prostokąta i wynosi P=a \cdot h.

Twierdzenie 1

Wzór na pole równoległoboku z wysokością

Pole równoległoboku o bokach długości a i b oraz wysokościach h_a i h_b poprowadzonych na te boki dane jest wzorem:

(0)P=a\cdot h_a=b\cdot h_b

Twierdzenie 2

Wzór na pole równoległoboku z sinusem kąta ostrego

Pole równoległoboku o bokach długości a i b oraz kącie ostrym \alpha wyraża się wzorem:

(0)P=ab\sin\alpha

Twierdzenie 3

Wzór na pole równoległoboku z przekątnymi

Pole równoległoboku o przekątnych długości d_1 i d_2 oraz kącie ostrym \gamma między nimi wyraża się wzorem:

(0)P=\frac{1}{2}d_1d_2\sin\gamma

Twierdzenie 4

Pole równoległoboku

Pole równoległoboku o bokach długości a i b oraz wysokościach h_a i h_b poprowadzonych na te boki dane jest wzorem:

(0)P=a\cdot h_a=b\cdot h_b

Dodatkowo:

Pole równoległoboku o bokach długości a i b oraz kącie ostrym \alpha wyraża się wzorem:
(0)P=ab\sin\alpha
Pole równoległoboku o przekątnych długości d_1 i d_2 oraz kącie ostrym \gamma wyraża się wzorem:
(0)P=\frac{1}{2}d_1d_2\sin\gamma

Twierdzenie 5

O kątach wewnętrznych równoległoboku

W dowolnym równoległoboku:

kąty znajdujące się w przeciwległych wierzchołkach mają równe miary
suma miar kątów leżących przy tym samym boku wynosi 180^\circ .

Twierdzenie 6

O przekątnych równoległoboku

Przekątne równoległoboku przecinają się w połowie

Twierdzenie 7

O charakterystyce równoległoboku

Jeżeli czworokąt spełnia chociaż jeden z poniższych warunków, to czworokąt ten jest równoległobokiem:

wszystkie przeciwległe boki są równej długości,
dwa przeciwległe boki są równoległe i są równej długości,
wszystkie przeciwległe kąty są tej samej miary
suma kątów leżących przy tym samym boku wynosi 180^\circ
przekątne przecinają się w połowie

Twierdzenie o przekątnych równoległoboku