logo
Twierdzenie

Twierdzenie o rozwiązaniu nierówności kwadratowej

Niech a,b,cRa,b,c\in\mathbb{R}, a0a\neq0 i niech Δ\Delta będzie . Wówczas, rozwiązania nierówności kwadratowej

ax2+b+c  0,gdzie {<,>,,}ax^2+b+c\ \square\ 0,\quad\text{gdzie }\square\in\left\{<,>,\le,\ge\right\}
(0)

można opisać w zależności od znaku aa, rodzaju nierówności oraz wartości Δ\Delta w następujący sposób (korzystając z ):

  • Δ>0\Delta>0 (dwa pierwiastki rzeczywiste x1<x2x_1<x_2)

    aa

    Rodaj nierówności

    Rozwiązanie

    >0>0

    >>

    x(,x1)(x2,)x\in(-\infty,x_1)\cup (x_2,\infty)

    >0>0

    \ge

    x(,x1][x2,)x\in(-\infty,x_1]\cup [x_2,\infty)

    >0>0

    <<

    x(x1,x2)x\in(x_1,x_2)

    >0>0

    \le

    x[x1,x2]x\in[x_1,x_2]

    <0<0

    >>

    x(x1,x2)x\in(x_1,x_2)

    <0<0

    \ge

    x[x1,x2]x\in[x_1,x_2]

    <0<0

    <<

    x(,x1)(x2,)x\in(-\infty,x_1)\cup (x_2,\infty)

    <0<0

    \le

    x(,x1][x2,)x\in(-\infty,x_1]\cup [x_2,\infty)

  • Δ=0\Delta=0 (jeden pierwiastek rzeczywisty x0x_0)

    aa

    Rodaj nierówności

    Rozwiązanie

    >0>0

    >>

    xR{x0}x\in\mathbb{R}\setminus\{x_0\}

    >0>0

    \ge

    xRx\in\mathbb{R}

    >0>0

    <<

    xx\in\emptyset

    >0>0

    \le

    x{x0}x\in\{x_0\}

    <0<0

    >>

    xx\in\emptyset

    <0<0

    \ge

    x{x0}x\in\{x_0\}

    <0<0

    <<

    xR{x0}x\in\mathbb{R}\setminus\{x_0\}

    <0<0

    \le

    xRx\in\mathbb{R}

  • Δ<0\Delta<0 (brak pierwiastków rzeczywistych)

    aa

    Rodaj nierówności

    Rozwiązanie

    >0>0

    >>

    xRx\in\mathbb{R}

    >0>0

    \ge

    xRx\in\mathbb{R}

    >0>0

    <<

    xx\in\emptyset

    >0>0

    \le

    xx\in\emptyset

    <0<0

    >>

    xx\in\emptyset

    <0<0

    \ge

    xx\in\emptyset

    <0<0

    <<

    xRx\in\mathbb{R}

    <0<0

    \le

    xRx\in\mathbb{R}

Dowiedz się więcej!

Więcej informacji o pojęciu Twierdzenie o rozwiązaniu nierówności kwadratowej znajdziesz w: