Definicja 1

Równanie kwadratowe

Równaniem kwadratowym z niewiadomą x nazywamy równanie postaci:

(0)ax^2+bx+c=0

gdzie a,b,c\in\mathbb{R} oraz a\neq 0.

Uwaga 1

Uwaga

Równania kwadratowe rozwiązujemy analogicznie do szukania miejsc zerowych funkcji kwadratowej.

Twierdzenie 1

O rozwiązaniu równania kwadratowego

Niech dane będzie równanie kwadratowe ax^2+bx+c=0 gdzie a\neq 0 oraz niech \Delta=b^2-4ac. Wówczas:

Jeżeli \Delta>0, to równanie ma dokładnie dwa rozwiązania dane wzorami:
(0)\begin{align*} x_1&= \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\\ x_2&= \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \end{align*}
Jeżeli \Delta=0, to równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie dane wzorem:
(0)x_1=x_2=-\frac{b}{2a}
Jeżeli \Delta < 0, to równanie nie ma rozwiązań.

Rozwiązanie równanie kwadratowego nazywamy również jego pierwiastkiem, a gdy \Delta=0 to mówimy o pierwiastku podwójnym (ponieważ x_1=x_2).

Uwaga 2

Uwaga

Niektóre równania kwadratowe można rozwiązać bez obliczania delty, dostrzegając postać iloczynową w postaci ogólnej równania kwadratowego, np. x^2+5x+6=(x+2)(x+3).

Twierdzenie o rozwiązaniu równania kwadratowego