Definicja 1

Funkcja wymierna

Niech dane będą dwa wielomiany p oraz q, gdzie q\not\equiv 0. Wówczas funkcją wymierną nazywamy funkcję będącą ilorazem tych wielomianów:

(0)f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}

Dziedziną funkcji wymiernej f jest dziedzina wielomianu p z wyłączeniem miejsc zerowych wielomianu q.

Uwaga 1

Uwaga

Funkcjami wymiernymi są w szczególności funkcje wielomianowe i homograficzne.

Definicja 2

Funkcja wymierna właściwa

Mówimy, że funkcja wymierna jest właściwa, jeżeli stopień wielomianu p jest mniejszy od stopnia wielomianu q. W przeciwnym wypadku mówimy o funkcji wymiernej niewłaściwej.

Twierdzenie 1

O rozkładzie funkcji wymiernej niewłaściwej

Każdą funkcję wymierną niewłaściwą można przedstawić w postaci sumy wielomianu i funkcji wymiernej właściwej.

Definicja 3

Proporcjonalność odwrotna

Mówimy, że dwie zmienne x oraz y są odwrotnie proporcjonalne, jeżeli ich iloczyn jest stały, tj.

(0)y\cdot x=a\Rightarrow y=\frac{a}{x}

gdzie a,x,y\neq 0. Funkcję

(0)f(x)=\frac{a}{x}

nazywamy proporcjonalnością odwrotną, a liczbę a - współczynnikiem proporcjonalności odwrotnej.

Przykład 1

Proporcjonalność odwrotna

Proporcjonalność odwrotna oznacza że wraz ze wzrostem jednej wartości, druga proporcjonalnie maleje, a wraz ze spadkiem - druga rośnie.

Przykładem jest wzór na prędkość - im szybciej się poruszamy (v) tym mniej czasu potrzebujemy (t).

(0)v= \frac{s}{t}

Wykresem proporcjonalności odwrotnej jest hiperbola składająca się z dwóch części, zwanych gałęziami hiperboli.

Funkcja nie ma miejsc zerowych
Dziedziną funkcji jest zbiór \mathbb{R}\backslash\{0\}.
Zbiorem wartości funkcji jest \mathbb{R}\setminus\{0\}.
Asymptotą poziomą oraz asymptotą pionową wykresu funkcji są odpowiednio proste y=0 oraz x=0.
Wykres funkcji jest symetryczny względem początku układu współrzędnych (punkt O=(0,0) jest środkiem symetrii)
Jeżeli a>0 to wykres funkcji (gałęzie hiperboli) znajduje się w I i III ćwiartce układu współrzędnych, a jeżeli a<0 to w ćwiartce II i IV.

Definicja 4

Funkcja homograficzna

Funkcją homograficzną nazywamy funkcję postaci (tzw. postać ogólna)

(0)f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}

gdzie c\neq0, ad-cb\neq 0 oraz \displaystyle x\in\mathbb{R}\backslash\left\{-\frac{d}{c}\right\}.

Uwaga 2

Uwaga

Warunki c\neq oraz ad-cb\neq 0 występujące w definicji funkcji homograficznej gwarantują, że postaci funkcji homograficznej (ilorazu dwóch funkcji liniowych) nie da się sprowadzić do funkcji liniowej.

Definicja 5

Postać kanoniczna funkcji homograficznej

Postacią kanoniczną funkcji homograficznej \displaystyle f(x)=\frac{ax+b}{cx+d} nazywamy wzór postaci:

(0)f(x)=\frac{r}{x-p}+q

gdzie r\neq 0 oraz x\in\mathbb{R}\backslash\{p\}.

Twierdzenie 2

O funkcji homograficznej

Wykresem funkcji homograficznej \displaystyle f(x)=\frac{ax+b}{cx+d} jest hiperbola która:

przecina oś OX w punkcie \displaystyle \left(- \frac{b}{a},0 \right) o ile a\neq 0
przecina oś OY w punkcie \displaystyle \left(0, \frac{b}{d} \right) o ile d\neq 0

Wówczas wykres funkcji \displaystyle f(x)=\frac{r}{x-p}+q to wykres funkcji \displaystyle f(x)=\frac{r}{x} przesunięty o wektor [p,q].

Twierdzenie 3

Asymptoty wykresu funkcji homograficznej

Asymptotami wykresu funkcji homograficznej f(x)=\frac{r}{x-p}+q gdzie r\neq 0 są proste x=p oraz y=q. Jeżeli f jest dana w postaci ogólnej f(x)=\frac{ax+b}{cx+d} to asymptotami wykresu tej funkcji są proste x=-\frac{d}{c} (asymptota pionowa) oraz y=\frac{a}{c} (asymptota pozioma)

Definicja 6

Wyrażenie wymierne

Wyrażeniem wymiernym nazywamy ułamek (iloraz) dwóch wielomianów.

Definicja 7

Dziedzina wyrażenia wymiernego

Dziedziną wyrażenia wymiernego to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych z wyłączeniem miejsc zerowych wielomianu znajdującego się w mianowniku.

Upraszczanie wyrażeń wymiernych, zwane skracaniem, pozwala na łatwiejsze rozwiązywanie równań, redukcję skomplikowanych wyrażeń oraz głębsze zrozumienie zależności między zmiennymi.

Skracanie wyrażeń wymiernych polega na usuwaniu wspólnych czynników z licznika i mianownika, co nie tylko upraszcza zapis, ale także minimalizuje ryzyko błędów w dalszych obliczeniach. Należy jednak pamiętać, aby unikać typowych pułapek, takich jak dzielenie przez zero czy pomijanie wspólnych założeń.

Wyrażenia wymierne skracamy analogicznie do ułamków, czyli zarówno licznik jak i mianownik dzielimy przez to samo wyrażenie (oczywiście zakładając że nie jest zerowe).

Dodawanie oraz odejmowanie wyrażeń wymiernych również odbywa się analogicznie jak w przypadku ułamków - oba wyrażenia musimy najpierw sprowadzić do wspólnego mianownika, a następnie zsumować otrzymane liczniki.

Definicja 8

Dziedzina naturalna funkcji

Dziedziną naturalną funkcji f nazywamy największy podzbiór zbioru liczb rzeczywistych, dla którego funkcja ma sens.

Twierdzenie 4

O zamkniętości funkcji wymiernych

Suma, różnica, iloczyn oraz iloraz funkcji wymiernych jest funkcją wymierną.

Definicja 9

Równanie wymierne

Równaniem wymiernym nazywamy równanie postaci

(0)\frac{p(x)}{q(x)}=0

gdzie p,q to wielomiany.

Ponieważ ułamek jest równy 0 wtedy i tylko wtedy gdy licznik jest równy 0 a mianownik jest różny od 0, to rozwiązywanie równań wymiernych składa się z trzech etapów:

Ustalamy dziedzinę licząc miejsca zerowe wielomianu q
Liczymy miejsca zerowe wielomianu p
Sprawdzamy które z obliczonym miejsc zerowych wielomianu p należą do dziedziny i tym samym są rozwiązaniem równania

Twierdzenie o zamkniętości funkcji wymiernych