Twierdzenie o związku między pochodną a monotonicznością funkcji

Niech dana będzie funkcja $f$ f różniczkowalna w przedziale $(a,b)$ (a,b). Wówczas:

jeżeli funkcja $f$ f jest rosnąca w przedziale $(a,b)$ (a,b), to $f'(x)\ge 0$ f'(x)\ge 0 dla każdego $x\in(a,b)$ x\in(a,b).
jeżeli funkcja $f$ f jest malejąca w przedziale $(a,b)$ (a,b), to $f'(x)\le 0$ f'(x)\le 0 dla każdego $x\in(a,b)$ x\in(a,b).

Odwrotnie:

Jeżeli $f'(x)>0$ f'(x)>0 dla każdego $x\in(a,b)$ x\in(a,b), to funkcja $f$ f jest rosnąca na przedziale $(a,b)$ (a,b)
Jeżeli $f'(x)<0$ f'(x)<0 dla każdego $x\in(a,b)$ x\in(a,b), to funkcja $f$ f jest malejąca na przedziale $(a,b)$ (a,b)
Jeżeli $f'(x)=0$ f'(x)=0, to funkcja $f$ f jest stała na przedziale $(a,b)$ (a,b).

\def\arraystretch{1.5} \begin{array}{c|c|c|c} x & & x_0 & \\ \hline f'(x) & + & 0 &- \\\hline f(x) & \nearrow & \textcolor{Green}{\max} &\searrow \end{array} \qquad \def\arraystretch{1.5} \begin{array}{c|c|c|c} x & & x_0 & \\ \hline f'(x) & - & 0 &+ \\\hline f(x) & \searrow & \textcolor{Red}{\min}&\nearrow \end{array}

(0)