Definicja 1

Iloraz różnicowy

Ilorazem różnicowym funkcji f określonej w pewnym otoczeniu U(x_0) w punkcie x_0 dla przyrostu x-x_0 nazywamy iloraz postaci:

(0)\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0},

Różnicę z licznika ilorazu różnicowego nazywamy przyrostem wartości funkcji, a różnicę z mianownika - przyrostem argumentu funkcji.

Jeżeli przez punkty A=(x_0,f(x_0)) oraz B=\left(x,f(x)\right) poprowadzimy prostą, i oznaczymy kąt jaki ta prosta tworzy z osią OX przez \alpha, to okazuje się, że współczynnik kierunkowy tej prostej jest równy:

(0)a=\tg \alpha= \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}

Jeżeli zaczniemy zmniejszać odległość pomiędzy x a x_0, tj. przybliżać x do x_0, to prosta przechodząca przez punkty A i B zaczyna przypominać styczną do wykresu funkcji f.

Wreszcie, licząc granicę ilorazu różnicowego:

(0)\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}

otrzymamy liczbę będącą współczynnikiem kierunkowym prostej stycznej d wykresu funkcji f a punkcie A - współczynnik ten nazywamy pochodną funkcji f w punkcie x_0:

(0)f'(x_0)

Definicja 2

Pochodna funkcji w punkcie

Jeżeli dla funkcji f określonej w pewnym otoczeniu U(x_0) punktu x_0 istnieje skończona granica \displaystyle\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}, to granicę tę nazywamy pochodną funkcji f w punkcie x_0 i oznaczamy ją f'(x_0).

(0)f'(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}

Jeżeli funkcja ma pochodną w punkcie x_0, to mówimy że funkcja jest różniczkowalna w punkcie x_0.

Definicja 3

Pochodna jednostronna

Jeżeli dla funkcji f określonej w pewnym otoczeniu U_+(x_0) (odpowiednio: U_-(x_0) punktu x_0 istnieje skończona granica \displaystyle\lim_{x\to x_0^+}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \left(\text{odpowiednio: }\displaystyle\lim_{x\to x_0^-}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\right), to granicę tę nazywamy pochodną prawostronną (odpowiednio: lewostronną) funkcji f w punkcie x_0 i oznaczamy ją f'_+(x_0) (odpowiednio: f'_-(x_0)).

Twierdzenie 1

O pochodnej funkcji

Funkcja f określona w otoczeniu punktu x_0 ma pochodną równą p\in\mathbb{R} w tym punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją pochodne jednostronne f'_+(x) i f'_-(x) oraz zachodzi równość

(0)f'_+(x)=f'_-(x)

Twierdzenie 2

O ciągłości funkcji różniczkowalnej

Jeżeli funkcja f jest określona w pewnym otoczeniu punktu x_0 i ma w tym punkcie pochodną, to jest w tym punkcie ciągła.

Definicja 4

Funkcja pochodna

Niech dana będzie funkcja f mająca pochodną w każdym punkcie swojej dziedziny (lub na jej podzbiorze). Funkcją pochodną (lub krótko: pochodną) funkcji f nazywamy funkcję y=f'(x).
O funkcji f mówimy, że jest różniczkowalna.

Funkcja	Pochodna
f(x)=c	f'(x)=0
f(x)=x^c	f'(x)=cx^{c-1}
f(x)=\sqrt{x}	f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}
f(x)=\frac{1}{x}	f'(x)=-\frac{1}{x^2}
f(x)=\sin x	f'(x)=\cos x
f(x)=\cos x	f'(x)=-\sin x
f(x)=\tg x	f'(x)=\frac{1}{\cos^2 x}
f(x)=\ctg x	f'(x)=-\frac{1}{\sin^2 x}
f(x)=\ln x	f'(x)=\frac{1}{x}
f(x)=\log_a x	f'(x)=\frac{1}{x\ln a}
f(x)=a^x	f'(x)=a^x\ln a
f(x)=e^x	f'(x)=e^x

Tab. 1.

Pochodne wybranych funkcji

Twierdzenie 3

O równaniu stycznej do wykresu funkcji w punkcie

Niech dana będzie funkcja f określona w pewnym otoczeniu punktu x_0 oraz różniczkowalna w tym punkcie. Styczna do wykresu funkcji w punkcie \left(x_0,f(x_0)\right) to prosta o równaniu:

(0)y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)

Twierdzenie 4

Twierdzenie o regułach różniczkowania

Niech dane będą funkcje f i g, różniczkowalne w punkcie x. Wówczas:

(0)\begin{align*} (c\cdot f(x))'&=c\cdot f'(x) \quad (c\in\mathbb{R})\\ (f(x)+g(x))'&=f'(x)+g'(x)\\ (f(x)-g(x))'&=f'(x)-g'(x)\\ (f(x)\cdot g(x))'&=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)\\ \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)'&=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^2} \quad(g(x)\neq 0) \end{align*}

Definicja 5

Funkcja złożona

Niech dane będą funkcje f:D_f\to\mathbb{R} oraz g:D_g\to\mathbb{R}, gdzie D_g\cap f(D_f)\neq \emptyset. Funkcję g\circ f określona na zbiorze D=\{x\in D_f:f(x)\in D_g\} wzorem:

(0)(g\circ f)(x)=g(f(x))

nazywamy złożeniem funkcji f i g, przy czym g nazywamy funkcją zewnętrzną, a f - funkcją wewnętrzną.

Uwaga 1

Uwaga

Składanie funkcji nie jest operacją przemienną!

Twierdzenie 5

O pochodnej funkcji złożonej

Jeżeli funkcja f ma pochodną w punkcie x_0, a funkcja g ma pochodną w punkcie f(x_0), to funkcja g\circ f ma pochodną w punkcie x_0 daną wzorem:

(0)(g\circ f)'(x_0)=(g(f(x_0))'=g'(f(x_0))\cdot f'(x_0)

Twierdzenie 6

O znaku pochodnej funkcji monotonicznej

Niech dana będzie funkcja f różniczkowalna w przedziale (a,b). Wówczas:

jeżeli funkcja f jest rosnąca w przedziale (a,b), to f'(x)\ge 0 dla każdego x\in(a,b).
jeżeli funkcja f jest malejąca w przedziale (a,b), to f'(x)\le 0 dla każdego x\in(a,b).

Odwrotnie:

Jeżeli f'(x)>0 dla każdego x\in(a,b), to funkcja f jest rosnąca na przedziale (a,b)
Jeżeli f'(x)<0 dla każdego x\in(a,b), to funkcja f jest malejąca na przedziale (a,b)
Jeżeli f'(x)=0, to funkcja f jest stała na przedziale (a,b).

(0)\def\arraystretch{1.5} \begin{array}{c|c|c|c} x & & x_0 & \\ \hline f'(x) & + & 0 &- \\\hline f(x) & \nearrow & \textcolor{Green}{\max} &\searrow \end{array} \qquad \def\arraystretch{1.5} \begin{array}{c|c|c|c} x & & x_0 & \\ \hline f'(x) & - & 0 &+ \\\hline f(x) & \searrow & \textcolor{Red}{\min}&\nearrow \end{array}

Uwaga 2

Uwaga

Druga część powyższego twierdzenia (konkretnie dwa pierwsze podpunkty - przypadek f'(x)<0 oraz f'(x)>0) jest również prawdziwa, gdy dla skończonej liczby argumentów pochodna funkcji f wynosi 0. Badanie przebiegu zmienności funkcji

Badanie przebiegu zmienności funkcji to analiza matematyczna, której celem jest zrozumienie, jak dana funkcja zachowuje się w różnych punktach swojego wykresu. Wyniki tej analizy pozwalają na dokładne narysowanie wykresu funkcji i jej opis.

Do najważniejszych etapów tego procesu należą:

Określenie dziedziny funkcji
Znalezienie punktów zerowych.
Znalezienie punktów przecięcia z osią OY
Obliczenie granic na końcach dziedziny.
Wyznaczenie asymptot wykresu funkcji (o ile istnieją)
Wyznaczenie pochodnej funkcji i określenie jej dziedziny
Wyznaczenie przedziałów monotoniczności oraz ekstremów funkcji.

Uwaga 3

Uwaga

Pochodna funkcji jest funkcją, a pochodna funkcji w punkcie jest liczbą!

Twierdzenie o związku między pochodną a monotonicznością funkcji