Definicja 1

Równanie liniowe z dwiema niewiadomymi

Równaniem liniowym (pierwszego stopnia) z dwiema niewiadomymi x i y nazywamy równanie postaci:

(0)ax+by=c

gdzie a,b,c\in\mathbb{R} oraz a i b nie są równocześnie równe 0. Liczby a,b,c nazywamy współczynnikami równania.

Uwaga 1

Uwaga

Ponieważ mamy do czynienia z dwiema niewiadomymi, rozwiązaniem rozważanego równania liniowego jest para liczb.

Definicja 2

Wykres równania pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi

Zbiór wszystkich par (x,y)\in\mathbb{R^2} spełniających równanie pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi x i y nazywamy wykresem tego równania.

Twierdzenie 1

O wykresie równania linowego z dwiema niewiadomymi

Wykresem równania pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi jest prosta.

Uwaga 2

Uwaga

Mówimy, że dane równanie opisuje prostą będącą jego wykresem.

Definicja 3

Układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi

Układem dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi x i y, nazywamy koniunkcję dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi postaci:

(0)\begin{cases} a_1x+b_1y=c_1\\ a_2x+b_2y=c_2 \end{cases}

gdzie a_1,a_2,b_1,b_2\in\mathbb{R} oraz a_1^2+b_1^2>0 oraz a_2^2+b_2^2>0, tj. a_1 i b_1 oraz a_2 i b_2 nie są jednocześnie równe 0.

Definicja 4

Rozwiązanie układu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi

Rozwiązaniem układu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi nazywamy każdą parę liczb (x,y)\in\mathbb{R}^2 która spełnia jednocześnie oba równania.

Rozwiązanie układu równań polega na wyznaczeniu wszystkich jego rozwiązań lub stwierdzeniu, że zbiór ten jest pusty.

Definicja 5

Wyznaczniki układu równań

Niech dany będzie układ równań

(0)\begin{cases} a_1x+b_1y=c_1\\ a_2x+b_2y=c_2 \end{cases}

gdzie a_1,a_2,b_1,b_2\in\mathbb{R} oraz a_1^2+b_1^2>0 oraz a_2^2+b_2^2>0. Liczby

(0)\begin{aligned} W=\begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix} &= a_1b_2-b_1a_2 \\ W_x=\begin{vmatrix} c_1 & b_1 \\ c_2 & b_2 \end{vmatrix}&=c_1b_2-b_1c_2\\ W_y=\begin{vmatrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \end{vmatrix}&=a_1c_2-c_1a_2 \end{aligned}

nazywamy odpowiednio wyznacznikiem głównym tego równania, wyznacznikiem niewiadomej x oraz wyznacznikiem niewiadomej y

Twierdzenie 2

Metoda wyznacznikowa rozwiązywania układów równań liniowych z dwiema niewiadomymi (wzory Cramera)

Niech dany będzie układ równań liniowych

(0)\begin{cases} a_1x+b_1y=c_1\\ a_2x+b_2y=c_2 \end{cases}

gdzie a_1,a_2,b_1,b_2\in\mathbb{R}, a_1^2+b_1^2>0 i a_2^2+b_2^2>0, oraz niech dane będą wyznaczniki tego układu równań:

(0)\begin{aligned} W=\begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix} \\ W_x=\begin{vmatrix} c_1 & b_1 \\ c_2 & b_2 \end{vmatrix}\\ W_y=\begin{vmatrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \end{vmatrix} \end{aligned}

Wówczas:

układ ma jedno rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy W\neq 0, a rozwiązanie to wyraża się wzorem:
(0)(x,y)=\left( \frac{W_x}{W}, \frac{W_y}{W} \right)
układ ma nieskończenie wiele rozwiązań wtedy i tylko wtedy, gdy W=W_x=W_y=0
układ nie ma rozwiązań wtedy i tylko wtedy, gdy
(0)W=0\land(W_x\neq 0 \vee W_y\neq 0)