Ułamek dziesiętny to szczególny rodzaj ułamka zwykłego, w którym mianownik jest potęgą liczby 10 (np. 10, 100, 1000). Zamiast kreski ułamkowej stosuje się przecinek dziesiętny (lub w notacji anglosaskiej – kropkę), który oddziela część całkowitą liczby od jej części ułamkowej.

Definicja 1

Ułamek dziesiętny

Ułamkiem dziesiętnym nazywamy reprezentację liczby rzeczywistej x w postaci:

(0)x=a_na_{n-1}\ldots a_1a_0,b_1b_2b_3\ldots,

gdzie:

a_na_{n-1}\ldots a_1a_0 to część całkowita (gdzie a_i to cyfry od 1 do 9),
b_1b_2b_3\ldots to część ułamkowa (gdzie b_j to cyfry od 1 do 9),
przecinek (lub kropka) to tzw. przecinek dziesiętny oddzielający część całkowitą od ułamkowej.

Przykład 1

Ułamki dziesiętne

\displaystyle \frac{1}{10}=0{,}1
\displaystyle \frac{17}{100} =0{,}17
\displaystyle \frac{54}{1000}=0{,}054
\displaystyle 3 \frac{5}{100}=3{,}05

Każdy ułamek dziesiętny można przedstawić w postaci ułamka zwykłego, który następnie można uprościć, jeśli to możliwe.

\displaystyle 2{,}07= \frac{207}{100}
\displaystyle 0{,}25= \frac{25}{100}= \frac{1}{4}

Zwróć uwagę, że zamieniając ułamek dziesiętny na ułamek zwykły, w mianowniku ułamka zwykłego pojawia się tyle samo zer ile cyfr było po przecinku w ułamku dziesiętnym.

Uwaga 1

Ułamki zwykłe i dziesiętne

Każdy ułamek dziesiętny można przedstawić w postaci ułamka zwykłego, który następnie można uprościć, jeśli to możliwe:

(0)\displaystyle 0{,}25= \frac{25}{100}= \frac{1}{4}

Odwrotna implikacja nie jest prawdziwa - istnieją bowiem ułamki zwykłe których nie da się zapisać w postaci ułamka dziesiętnego (rozszerzyć mianownik do dowolnej potęgi 10). Przykładami są: \displaystyle \frac{1}{3}, \frac{5}{7}, \frac{1}{11} .

W ułamku dziesiętnym kolejne cyfry po przecinku odpowiadają kolejnym częściom ułamkowym: pierwsza cyfra to część dziesiątych, druga – część setnych, trzecia – część tysięcznych, i tak dalej.

Ułamek dziesiętny możemy wyrazić w postaci sumy szeregu:

(0)x=\sum_{i=0}^na_i \cdot 10^i+\sum_{j=1}^\infty b_j \cdot 10^{-j}

Uwaga 2

Zera po przecinku

Ciąg zer znajdujących się na końcu ułamka dziesiętnego (po przecinku) nie zmienia wartości tego ułamka, tj. zachodzi równość:

(0)1{,}2345\textcolor{red}{000}=1{,}2345

Uwaga 3

Liczba naturalna jako ułamek dziesiętny

Zauważ, że każdą liczbę naturalną można zapisać w postaci ułamka dziesiętnego:

(0)\begin{aligned} 1&=1{,}0=1{,}00=1{,}000=\ldots\\ 14&=14{,}0=14{,}00=14{,}000=\ldots \end{aligned}