Definicja 1

Kąt

Kąt to jeden z dwóch obszarów (tzw. wnętrze kąta) powstałych w wyniku rozcięcia płaszczyzny przez sumę dwóch półprostych (zwanych ramionami kąta) o wspólnym początku (zwanym wierzchołkiem kąta), wraz z tymi półprostymi.

Kąty zwyczajowo oznaczamy małymi greckimi literami: \alpha - alfa, \beta - beta, \gamma - gamma, \delta - delta itd., lub symbolem \angle AOB lub \angle A, gdzie \angle oznacza słowo “kąt”, O to wierzchołek kąta, a A i B to punkty leżące na dwóch różnych ramionach kąta. Aby jednoznacznie określić o który z dwóch kątów na rysunku nam chodzi, rysujemy niewielki łuk lub wypełniam go kolorem (zacieniowujemy).

Definicja 2

Miara stopniowa kąta

Miara stopniowa kąta to liczba przyporządkowana kątowi, która określa jego wielkość. W układzie stopniowym miara kąta wyrażana jest w stopniach (^\circ ), gdzie pełny kąt wynosi 360^\circ , a półpełny - 180^\circ . Miara kąta może również być wyrażona w minutach ('), gdzie 1^\circ =60', tj. jeden stopień to 60 minut stopniowych, lub sekundach, gdzie 1'=60''.

Definicja 3

Miara łukowa kąta

Miarą łukową kąta nazywamy stosunek długości łuku s wyciętego przez ten kąt środkowy w dowolnym okręgu do promienia r tego okręgu.

(0)\alpha= \frac{s}{r}

Miara łukowa podawana jest w radianach (rad), gdzie pełny kąt odpowiada 2\pi radianom.

Uwaga 1

Uwaga

Zauważ, że miara łukowa kąta jest poprawnie zdefiniowana ponieważ stosunek \displaystyle \frac{s}{r} nie zależy od długości promienia. Dodatkowo, miara kąta pełnego w radianach faktycznie wynosi 2\pi ponieważ

(0) \frac{s}{r}= \frac{2\pi r}{r}=2\pi \approx 6{,}28

Wiemy, że 360^\circ =2\pi \text{ rad}, zatem

(0)1^\circ = \frac{2\pi}{360^\circ }\text{ rad}= \frac{\pi}{180^\circ } \text{ rad}

a stąd, dla dowolnego t\in\mathbb{R} zachodzi:

(0)t^\circ = \frac{\pi \cdot t}{180} \text{ rad}

W drugą stronę mamy:

(0)1\ \text{rad}=\left( \frac{180}{\pi} \right)^\circ

a stąd

(0)t\ \text{rad}=\left( \frac{180 \cdot t}{\pi} \right)^\circ

Uwaga 2

Uwaga

Warto zapamiętać, że

(0)360^\circ =2\pi\qquad180^\circ =\pi \qquad 90^\circ = \frac{\pi}{2}

Dodatkowo, przy przeliczaniu stopni na radiany i odwrotnie, warto posłużyć się proporcjami.

Definicja 4

Kąty przystające

Mówimy, że dwa kąty są przystające, jeżeli ich miary są równe.

Uwaga 3

Kąt a miara kąta

Symbole \alpha,\beta,\gamma itp. oraz \angle BAC oznaczają zarówno kąt (jako obszar) jak i jego miarę. Czasami używamy również zapisu |\angle AOB|.

Wierzchołek kąta