Definicja 1

Granica ciągu

Granicą ciągu (a_n) nazywamy taką liczbę g\in\mathbb{R}, że dla dowolnego \epsilon>0 istnieje liczba naturalna k taka, że dla wszystkich n>k spełniona jest nierówność:

(0)\\|a_{n}-g|<\varepsilon

tj. od pewnego miejsca prawie wszystkie wyrazy ciągu a_n leżą w odległości mniejszej od \varepsilon od liczby g.

Jeżeli ciąg (a_n) ma granicę g to mówimy że jest on zbieżny do g i zapisujemy:

(0)\lim_{n\to\infty}a_n=g

lub

(0)a_n\to g \quad \text{przy} \quad n\to\infty

Jeśli granica nie istnieje to mówimy, że ciąg (a_n) jest rozbieżny.

Przykład 1

Przykład

Granice wybranych ciągów możemy z łatwością wyznaczyć dostrzegając zachowanie kolejnych wyrazów ciągu:

\displaystyle \lim_{n\to\infty}n=\infty oraz \lim_{n\to \infty}(-n)
(0)\def\arraystretch{1.5} \begin{array}{c|c|c|c|c|cl} n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 &\to \infty\\ \hline n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 &\to \infty\\ \hline -n & -1 & -2 & -3 & -4 & -5 &\to -\infty\\ \end{array}
\displaystyle \lim_{n\to\infty }\frac{1}{n}=0 oraz \displaystyle \lim_{n\to\infty }\frac{1}{-n}=0
(0)\def\arraystretch{1.5} \begin{array}{c|c|c|c|c|c} n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \to \infty\\ \hline \frac{1}{n} & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5} \to 0\\ \hline - \frac{1}{n} & -1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{3} & -\frac{1}{4} & -\frac{1}{5} \to 0\\ \end{array}
\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{n+1}{n+2} = 1
(0)\def\arraystretch{1.5} \begin{array}{c|c|c|c|c|c} n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \to \infty\\ \hline \frac{n+1}{n+2} & \frac{2}{3} & \frac{3}{4} & \frac{4}{5} & \frac{5}{6} & \frac{6}{7} \to 1\\ \end{array}
\displaystyle \lim_{n\to\infty}3^{n}=\infty
(0)\def\arraystretch{1.5} \begin{array}{c|c|c|c|c|c} n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \to \infty\\ \hline 3^n & 3 & 9 & 27 & 81 & 243 \to \infty\\ \end{array}
\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left( \frac{1}{2} \right)^{n}=\infty
(0)\def\arraystretch{1.5} \begin{array}{c|c|c|c|c|c} n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \to \infty\\ \hline \left(\frac{1}{2}\right)^n & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} & \frac{1}{8} & \frac{1}{16} & \frac{1}{32} \to 0\\ \end{array}

W podobny sposób możemy uzasadnić granice innych prostych ciągów:

(0)\begin{aligned} \lim_{n\to\infty} \frac{4}{n^2}&=0\\ \lim_{n\to\infty} \left(-\frac{3}{4} \right)^{n}&=0 \\ \lim_{n\to\infty} \left(\frac{7}{5} \right)^{n}&=\infty \\ \end{aligned}

Uwaga 1

Wymowa

Wyrażenie \displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=g czytamy: “granica ciągu a_n przy n dążącym do do nieskończoności jest równa g”

Uwaga 2

Uwaga

W matematyce często mówimy, że dana własność zachodzi dla prawie wszystkich z rozważanych elementów. W kontekście ciągów, przez prawie wszystkie elementy ciągu mamy na myśli wszystkie elementy tego ciągu od pewnego ustalonego n.

Twierdzenie 1

O jednoznaczności granicy

Ciąg zbieżny ma dokładnie jedną granicę.

Twierdzenie 2

O rozbieżności ciągu

Jeżeli w ciągu \left(a_n\right) istnieją dwa podciągu zbieżne do różnic granic, to ciąg \left(a_n\right) jest rozbieżny.

Twierdzenie 3

Wybrane granice

Dla a\in\mathbb{R}:
(0) \lim_{x\to\infty}\frac{a}{n}=0
Dla q\in(-1,1)
(0)\lim_{n\to\infty}q^n=0
Dla a\in(0,\infty)
(0)\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a}=1
(0)\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]n=1
Dla k>0
(0)\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^k}=0
Dla q>1
(0)\lim_{n\to\infty}q^n=\infty
Dla k>0
(0)\lim_{n\to\infty}n^k=\infty
(0)\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x}=1

Twierdzenie 4

Wybrane granice ciągów

\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(1+ \frac{1}{n} \right)^{n}=e
\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} =e
\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(1+ \frac{a}{n} \right)=e^{a}
\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(1- \frac{1}{n} \right)= \frac{1}{e}
\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{a^{n}}{n!}=0
\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{\ln n}{n}=0

Twierdzenie 5

O jednoznaczności granicy ciągu

Każdy ciąg może mieć co najwyżej jedną granicę.

Twierdzenie 6

O granicy pierwiastka

Jeżeli \displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n=a oraz a_n\ge0 dla dowolnego n\in\mathbb{N_+}, to \displaystyle \lim_{n\to\infty}\sqrt{a_n}=\sqrt{a}.

Definicja 2

Ciąg rozbieżny do nieskończoności

Mówimy, że ciąg (a_n) jest rozbieżny do +\infty (-\infty), jeżeli dla dowolnej liczby M istnieje liczba naturalna k taka, że dla wszystkich n>k zachodzi nierówność a_n>M (a_n<M).

Mówimy, że ciąg (a_n) ma granicę niewłaściwą +\infty (-\infty).

Na ciągach możemy wykonywać podstawowe działania: dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie:

sumą ciągów \left(a_n\right) i \left(b_n\right) jest ciąg \left(c_n\right) o wyrazie ogólnym c_n=a_n+b_n.
różnicą ciągów \left(a_n\right) i \left(b_n\right) jest ciąg \left(c_n\right) o wyrazie ogólnym c_n=a_n-b_n.
iloczyn ciągów \left(a_n\right) i \left(b_n\right) jest ciąg \left(c_n\right) o wyrazie ogólnym c_n=a_n \cdot b_n.
ilorazem ciągów \left(a_n\right) i \left(b_n\right) jest ciąg \left(c_n\right) o wyrazie ogólnym \displaystyle c_n= \frac{a_n}{b_n} , b_n\neq 0.

Twierdzenie 7

O działaniach arytmetycznych na granicach ciągów zbieżnych

Jeżeli \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=a oraz \displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n=b, gdzie a,b,\in\mathbb{R}, to ciągi \left(a_n+b_n\right), \left(a_n-b_n\right), \left(a_n \cdot b_n\right) oraz \displaystyle \left( \frac{a_n}{b_n} \right) (o ile dodatkowo b\neq 0 i b_n\neq0) również są zbieżne oraz zachodzą następujące równości:

\displaystyle\lim_{n\to\infty}(c\cdot a_n)=c\cdot a,\quad \text{ gdzie } c\in\mathbb{R}
\displaystyle\lim_{n\to\infty}(a_n+b_n)=\lim_{n\to\infty}a_n + \lim_{n\to\infty}b_n=a+b
\displaystyle\lim_{n\to\infty}(a_n-b_n)=\lim_{n\to\infty}a_n -\lim_{n\to\infty}b_n=a-b
\displaystyle\lim_{n\to\infty}(a_n\cdot b_n)=\lim_{n\to\infty}a_n \cdot\lim_{n\to\infty}b_n=a\cdot b
\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n}{\displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n} =\frac{a}{b},\quad \text{ gdzie } b\neq0,b_n\neq0 \text{ dla }n\in\mathbb{N_+}

Twierdzenie 8

Twierdzenie o trzech ciągach

Niech dane będą ciągi nieskończone (a_n),(b_n) oraz (c_n). Jeżeli istnieje \delta>0 taka, że dla dowolnego n>\delta spełniona jest nierówność:

(0)a_n\le b_n\le c_n

oraz \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\displaystyle\lim_{n\to\infty}c_n=g, to \displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n=g.

Twierdzenie 9

Własności ciągów rozbieżnych do nieskończoności

Jeżeli \displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\infty oraz \displaystyle \lim_{n\to\infty}b_n=\infty to:

\displaystyle \lim_{n\to\infty}(a_n+b_n)=\infty
\displaystyle \lim_{n\to\infty}(a_n\cdot b_n)=\infty

Jeżeli \displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\infty oraz \displaystyle \lim_{n\to\infty}b_n=b to:

\displaystyle \lim_{n\to\infty}(a_n+b_n)=\infty
\displaystyle \lim_{n\to\infty}(a_n\cdot b_n)=\pm \infty (b\neq0)
\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(\frac{a_n}{b_n}\right)=\pm \infty (b\neq0)

Jeżeli \displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=a\in\mathbb{R} oraz \displaystyle \lim_{n\to\infty}b_n=\pm\infty, gdzie b_n\neq 0 dla n\in\mathbb{N_+}, to:

\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(\frac{a_n}{b_n}\right)=0

Jeżeli \displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\infty oraz a_n\ge 0 dla n\in\mathbb{N_+}, to

(0)\lim_{n\to\infty}\sqrt{a_n}=\infty

Jeżeli \displaystyle \lim_{n\to\infty}|a_n|=+\infty, to

(0)\lim_{n\to\infty } \frac{1}{a_n}=0

Jeżeli \displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=0, to

(0)\lim_{n\to\infty } \frac{1}{a_n}=+\infty

Jeżeli \displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=0, to

(0)\lim_{n\to\infty } \frac{1}{|a_n|}=+\infty

Jeżeli \displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=a to

(0)\displaystyle \lim_{n\to\infty}|a_n|=|a|

Jeżeli \displaystyle \lim_{n\to\infty}|a_n|=0 to

(0)\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=0

Twierdzenie 10

O granicy wyrażenia wymiernego

Niech dane będą wielomiany w(x) i w(x) stopni p i q odpowiednio, postaci:

(0)\begin{aligned} w(n)&=a \cdot n^p+\ldots\\ v(n)&=b \cdot n^{q}+\ldots \end{aligned}

Wówczas

(0)\lim_{n\to\infty} \frac{w(n)}{v(n)}= \begin{cases} \frac{a}{b},&\text{gdy }p=q\\ 0,&\text{gdy } p<q\\ \pm\infty,&\text{gdy } p>q \end{cases}

Uwaga 3

Uwaga

Może się zdarzyć, że przyjdzie nam obliczyć wartość wyrażenia w którym występuje symbol nieskończoności. Ogólnie, zachodzą następujące równości:

\infty+\infty=\infty
\infty \cdot \infty=\infty
\infty \cdot \left(-\infty\right)=-\infty
\infty+c=\infty
\infty \cdot c=\infty (c>0)
\infty \cdot c=-\infty (c<0)
\displaystyle \frac{\infty}{c}=\infty (c>0)
\displaystyle \frac{\infty}{c}=-\infty (c<0)

Niektóre z wyrażeń mogą być nieoznaczone, co oznacza że nie można określić wyniku działania:

\displaystyle \frac{0}{0}
\displaystyle \frac{\infty}{\infty}
0 \cdot \infty
\infty-\infty
-\infty+\infty
1^{\infty}
0^{0}
\infty^{0}

W przypadku gdy otrzymamy jedno z wyrażeń nieoznaczonych, należy przekształcić wyrażenie w taki sposób aby nowo otrzymane wyrażenie nie było nieoznaczone i dało się określić jego wartość.