Własności ciągów rozbieżnych do nieskończoności

Jeżeli $\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\infty$\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\infty oraz $\displaystyle \lim_{n\to\infty}b_n=\infty$\displaystyle \lim_{n\to\infty}b_n=\infty to:

• $\displaystyle \lim_{n\to\infty}(a_n+b_n)=\infty$\displaystyle \lim_{n\to\infty}(a_n+b_n)=\infty

• $\displaystyle \lim_{n\to\infty}(a_n\cdot b_n)=\infty$\displaystyle \lim_{n\to\infty}(a_n\cdot b_n)=\infty

Jeżeli $\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\infty$\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\infty oraz $\displaystyle \lim_{n\to\infty}b_n=b$\displaystyle \lim_{n\to\infty}b_n=b to:

• $\displaystyle \lim_{n\to\infty}(a_n+b_n)=\infty$\displaystyle \lim_{n\to\infty}(a_n+b_n)=\infty

• $\displaystyle \lim_{n\to\infty}(a_n\cdot b_n)=\pm \infty$\displaystyle \lim_{n\to\infty}(a_n\cdot b_n)=\pm \infty $(b\neq0)$(b\neq0)

• $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(\frac{a_n}{b_n}\right)=\pm \infty$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(\frac{a_n}{b_n}\right)=\pm \infty $(b\neq0)$(b\neq0)

Jeżeli $\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=a\in\mathbb{R}$\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=a\in\mathbb{R} oraz $\displaystyle \lim_{n\to\infty}b_n=\pm\infty$\displaystyle \lim_{n\to\infty}b_n=\pm\infty, gdzie $b_n\neq 0$b_n\neq 0 dla $n\in\mathbb{N_+}$n\in\mathbb{N_+}, to:

• $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(\frac{a_n}{b_n}\right)=0$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(\frac{a_n}{b_n}\right)=0

Jeżeli $\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\infty$\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\infty oraz $a_n\ge 0$a_n\ge 0 dla $n\in\mathbb{N_+}$n\in\mathbb{N_+}, to

Jeżeli $\displaystyle \lim_{n\to\infty}|a_n|=+\infty$\displaystyle \lim_{n\to\infty}|a_n|=+\infty, to

Jeżeli $\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=0$\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=0, to

Jeżeli $\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=0$\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=0, to

Jeżeli $\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=a$\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=a to

Jeżeli $\displaystyle \lim_{n\to\infty}|a_n|=0$\displaystyle \lim_{n\to\infty}|a_n|=0 to