Definicja 1

Otoczenie punktu

Otoczeniem U(x_0,\varepsilon) punktu x_0 o promieniu \varepsilon>0 nazywamy przedział otwarty (x_0-\varepsilon, x_0+\varepsilon) o środku w punkcie x_0. Przedział (x_0-\varepsilon,x_0] nazywamy otoczeniem lewostronnym punktu x_0, a przedział [x_0,x_0+\varepsilon) - otoczeniem prawostronnym.

Definicja 2

Punkt skupienia zbioru

Punkt x_0 nazywamy punktem skupienia zbioru liczbowego X, jeżeli w dowolnym otoczeniu punktu x_0 znajduje się nieskończenie wiele liczb ze zbioru X.

Definicja 3

Sąsiedztwo punktu

Sąsiedztwem punktu x_0 o promieniu \varepsilon>0 nazywamy jego otoczenie, z wyłączeniem jego samego:

(0)\begin{aligned} S(x_0,\varepsilon)&=U(x_0,\varepsilon)\backslash\{x_0\}\\ &=(x_0-\varepsilon, x_0)\cup (x_0, x_0+\varepsilon) \end{aligned}

Przedział (x_0-\varepsilon, x_0) nazywamy sąsiedztwem lewostronnym, a przedział (x_0, x_0+\varepsilon) - sąsiedztwem prawostronnym.

Definicja 4

Granica funkcji w punkcie (Heinego)

Mówimy, że liczba g\in\mathbb{R} jest granicą funkcji f w punkcie x_0 co zapisujemy:

(0)\lim_{x\to x_0}f(x)=g,\quad f(x)\to g \text{ przy } x\to x_0

jeżeli dla każdego ciągu (x_n) zbieżnego do x_0 (tj. \lim_{n\to\infty}x_n=x_0), o wyrazach należących do otoczenia punktu x_0, ciąg (f(x_n)) jest zbieżny to g.

(0)\lim_{x\to x_0}f(x)=g\iff\underset{x_n\to x_0}{\forall}\left[\left(x_n\in S(x_0,\varepsilon) \land \lim_{n\to\infty}x_n=x_0\right)\Rightarrow\lim_{x_n\to x_0}f(x_n)=g\right]

Uwaga 1

Uwaga

Zapis \lim w definicji granicy pochodzi od łacińskiego słowa limes oznaczającego granica.

Przykład 1

Granica w +\infty

Granice wybranych funkcji w nieskończoności możemy z łatwością wyznaczyć dostrzegając zachowanie funkcji dla kolejnych argumentów :

\displaystyle \lim_{x\to\infty}4x=\infty oraz \displaystyle \lim_{x\to \infty}(-4x)=-\infty
(0)\def\arraystretch{1.5} \begin{array}{c|c|c|c|c|cl} x & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 &\to \infty\\ \hline 4x & 4 & 8 & 12 & 16 & 20 &\to \infty\\ \hline -4x & -4 & -8 & -12 & -16 & -20 &\to \infty\\ \end{array}
\displaystyle \lim_{x\to\infty }\frac{4}{x}=0 oraz \displaystyle \lim_{x\to\infty }\left(-\frac{4}{x}\right)=0
(0)\def\arraystretch{1.5} \begin{array}{c|c|c|c|c|c} x & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \to \infty\\ \hline \frac{4}{x} & 4 & 2 & \frac{4}{3} & 1 & \frac{4}{5} \to 0\\ \hline -\frac{4}{x} &-4 & - 2 & -\frac{4}{3} & -1 & -\frac{4}{5} \to 0\\ \end{array}

Przykład 2

Granica w -\infty

Granice wybranych funkcji w nieskończoności możemy z łatwością wyznaczyć dostrzegając zachowanie funkcji dla kolejnych argumentów :

\displaystyle \lim_{x\to-\infty} \left(\frac{1}{2}x\right)=-\infty oraz \displaystyle \lim_{x\to -\infty}\left(- \frac{1}{2} x\right)=\infty
(0)\def\arraystretch{1.5} \begin{array}{c|c|c|c|c|cl} x & -1 & -2 & -3 & -4 & -5 &\to -\infty\\ \hline \frac{1}{2} x & -\frac{1}{2} & -1 & - 1\frac{1}{2} & -2 & -2 \frac{1}{2} &\to -\infty\\ \hline -\frac{1}{2} x & \frac{1}{2} & 1 & 1\frac{1}{2} & 2 & 2 \frac{1}{2} &\to \infty\\ \end{array}
\displaystyle \lim_{x\to-\infty }\frac{1}{x^2}=0 oraz \displaystyle \lim_{x\to-\infty }\left(-\frac{1}{x^2}\right)=0
(0)\def\arraystretch{1.5} \begin{array}{c|c|c|c|c|c} x & -1 & -2 & -3 & -4 & -5 \to -\infty\\ \hline \frac{1}{x^2} & 1 & \frac{1}{4} & \frac{1}{9} & \frac{1}{16} & \frac{1}{25} \to 0\\ \hline -\frac{1}{x^2} & -1 & -\frac{1}{4} & -\frac{1}{9} & -\frac{1}{16} & - \frac{1}{25} \to 0\\ \end{array}

Twierdzenie 1

O istnieniu granicy funkcji w punkcie

Niech dana będzie funkcja f określona w pewnym sąsiedztwie S(x_0,\varepsilon). Wówczas:

jeżeli funkcja f jest stała w zbiorze S(x_0,\varepsilon), tj. f(x)=c dla x\in S(x_0,\varepsilon), c\in\mathbb{R}, to istnieje granica funkcji f w punkcie x_0 oraz \displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)=c.
jeżeli dla x\in S(x_0,\varepsilon) zachodzi f(x)=x, to istnieje granica funkcji f w punkcie x_0 oraz \displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)=x_0.

Twierdzenie 2

O granicy pierwiastka

Jeżeli \displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)=g>0, to \displaystyle \lim_{x\to x_0}\sqrt{f(x)}=\sqrt{g}.

Definicja 5

Granica jednostronna

Liczbę g nazywamy granicą lewostronną (odpowiednio: prawostronną) funkcji f(x) w punkcie x_0, co zapisujemy:

(0)\lim_{x\to x_0^+}f(x)=g \quad (\text{odpowiednio:}\lim_{x\to x_0^-}f(x)=g)

jeżeli dla każdego ciągu (x_n) takiego, że dla dowolnego n\in\mathbb{N}, x_n<x_0 (odpowiednio: x_n>x_0), tj. x_n\in S_{-}(x_0,\varepsilon) (odpowiednio: x_n\in S_{+}(x_0,\varepsilon)) oraz \displaystyle \lim_{n\to\infty}x_n=x_0, ciąg (f(x_n)) jest zbieżny do g , tj.

(0)\lim_{n\to\infty}f(x_n)=g

Twierdzenie 3

Warunek konieczny i wystarczający na istnienie granicy w punkcie

Granica \displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x) funkcji f określonej w pewnym sąsiedztwie S(x_0,\varepsilon) istnieje i jest równa g wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją granice jednostronne \displaystyle\lim_{x\to x_0^-}f(x) oraz \displaystyle\lim_{x\to x_0^+}f(x) oraz są one równe g.

(0) \displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=g\iff\displaystyle\lim_{x\to x_0^-}f(x)=g \land \displaystyle\lim_{x\to x_0^+}f(x)=g

Twierdzenie 4

Własności granic funkcji

Jeżeli \displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=a oraz \displaystyle\lim_{x\to x_0}g(x)=b, gdzie a,b,\in\mathbb{R}, to:

\displaystyle\lim_{x\to x_0}(c\cdot f(x))=c\cdot \lim_{x\to x_0} f(x)=c\cdot a,\quad \text{ gdzie } c\in\mathbb{R}
\displaystyle\lim_{x\to x_0}(f(x)+g(x))=\lim_{x\to x_0}f(x) + \lim_{x\to x_0}g(x)=a+b
\displaystyle\lim_{x\to x_0}(f(x)-g(x))=\lim_{x\to x_0}f(x) -\lim_{x\to x_0}g(x)=a-b
\displaystyle\lim_{x\to x_0}(f(x)\cdot g(x))=\lim_{x\to x_0}f(x) \cdot\lim_{x\to x_0}g(x)=a\cdot b
\displaystyle\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)}{\displaystyle\lim_{x\to x_0}g(x)} =\frac{a}{b},\quad \text{ gdzie } b\neq0

Twierdzenie 5

O trzech funkcjach

Nie dane będą trzy funkcje f,g,h określone w pewnym sąsiedztwie S(x_0,\varepsilon). Jeżeli dla dowolnego x\in S(x_0,\varepsilon) zachodzi nierówność f(x)\le g(x)\le h(x) oraz \displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)=\lim _{x\to x_0}h(x)=c\in\mathbb{R}, to \displaystyle \lim_{x\to x_0}g=c

Definicja 6

Granica niewłaściwa

Mówimy, że funkcja f określona w pewnym sąsiedztwie S(x_0,\varepsilon) ma w punkcie x_0 granicę niewłaściwą \pm \infty, jeżeli dla każdego ciągu (x_n) o wyrazach należących do sąsiedztwa S(x_0,\varepsilon) zbieżnego do x_0, ciąg (f(x_n)) jest rozbieżny do \pm \infty, tj. \displaystyle \lim_{n\to +\infty} f(x_n)=\pm\infty.

Definicja 7

Granica niewłaściwa jednostronna

Mówimy, że funkcja f ma w punkcie x_0 granicę niewłaściwą lewostronną (odpowiednio: lewostronną) \pm \infty, jeżeli dla każdego ciągu (x_n) takiego, że dla dowolnego n\in\mathbb{N}, x_n<x_0 (odpowiednio: x_n>x_0) oraz \displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n=x_0, ciąg (f(x_n)) jest rozbieżny do \pm \infty.

Twierdzenie 6

O granicy wielomianu

Dla dowolnego wielomianu W oraz x_0\in\mathbb{R} zachodzi równość

(0)\lim_{x\to x_0} W(x)=W(x_0)

Twierdzenie 7

O granicy funkcji wymiernej

Niech dana będzie funkcja wymierna \displaystyle y= \frac{P(x)}{Q(x)} gdzie Q(x)\neq 0. Wówczas dla dowolnego x_0\in\mathbb{R} zachodzi równość:

(0)\lim_{x\to x_0} \frac{P(x)}{Q(x)}= \frac{P(x_0)}{Q(x_0)}

Twierdzenie 8

Własności granic niewłaściwych

Niech dane będą funkcje f i g określone w pewnym sąsiedztwie S(x_0,\varepsilon) punktu x_0 oraz niech \lim_{x\to x_0}f(x)=c\in\mathbb{R} i \displaystyle \lim_{x\to x_0}g(x)=\pm\infty. Wówczas:

\displaystyle \displaystyle \lim_{x\to x_0}\left[f(x)+g(x)\right]=\pm\infty
\displaystyle\lim_{x\to x_0}\left[f(x)-g(x)\right]=\mp\infty
jeżeli c>0 to \displaystyle \lim_{x\to x_0}\left[f(x)\cdot g(x)\right]=\pm\infty
jeżeli c<0 to \displaystyle \lim_{x\to x_0}\left[f(x)\cdot g(x)\right]=\mp\infty

Powyższe własności są również prawdziwe dla granic jednostronnych oraz granic w plus/minus nieskończoności.

Twierdzenie 9

Twierdzenie o granicy ilorazu przy zerowym mianowniku

Jeżeli \displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=0^+ oraz \displaystyle\lim_{x\to x_0}g(x)=a>0 to
(0)\lim_{x\to x_0}\frac{g(x)}{f(x)}=\infty
Jeżeli \displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=0^+ oraz \displaystyle\lim_{x\to x_0}g(x)=a<0 to
(0)\lim_{x\to x_0}\frac{g(x)}{f(x)}=-\infty
Jeżeli \displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=0^- oraz \displaystyle\lim_{x\to x_0}g(x)=a>0 to
(0)\lim_{x\to x_0}\frac{g(x)}{f(x)}=-\infty
Jeżeli \displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=0^- oraz \displaystyle\lim_{x\to x_0}g(x)=a<0 to
(0)\lim_{x\to x_0}\frac{g(x)}{f(x)}=\infty

Definicja 8

Granica funkcji w \pm \infty

Mówimy, że liczba g\in\mathbb{R} jest granicą funkcji f w \pm \infty:

(0)\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=g

jeżeli dla każdego ciągu (x_n) rozbieżnego do \pm\infty, o wyrazach należących do dziedziny funkcji f (tj. przedziału \left(a,+\infty\right) lub \left(-\infty,a\right)), ciąg (f(x_n) jest zbieżny do g, tj. \displaystyle \lim_{x\to\infty}f(x_n)=g

Uwaga 2

Uwaga

Innymi słowy, granica funkcji w plus (minus) nieskończoności to wartość do której dąży ta funkcja gdy argumenty funkcji dążą do plus (minus) nieskończoności.

Twierdzenie 10

Własności granic funkcji w nieskończoności

Jeżeli \displaystyle\lim_{x\to \pm\infty}f(x)=a oraz \displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}g(x)=b, gdzie a,b,\in\mathbb{R}, to:

\displaystyle\lim_{x\to \pm\infty}(c\cdot f(x))=c\cdot \lim_{x\to \pm\infty} f(x)=c\cdot a,\quad \text{ gdzie } c\in\mathbb{R}
\displaystyle\lim_{x\to \pm\infty}(f(x)+g(x))=\lim_{x\to \pm\infty}f(x) + \lim_{x\to \pm\infty}g(x)=a+b
\displaystyle\lim_{x\to \pm\infty}(f(x)-g(x))=\lim_{x\to \pm\infty}f(x) -\lim_{x\to \pm\infty}g(x)=a-b
\displaystyle\lim_{x\to \pm\infty}(f(x)\cdot g(x))=\lim_{x\to \pm\infty}f(x) \cdot\lim_{x\to \pm\infty}g(x)=a\cdot b
\displaystyle\lim_{x\to \pm\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\displaystyle\lim_{x\to \pm\infty}f(x)}{\displaystyle\lim_{x\to \pm\infty}g(x)} =\frac{a}{b},\quad \text{ gdzie } b\neq0

Twierdzenie 11

O granicy pierwiastka w nieskończoności

Jeżeli \lim_{x\to+\infty }f(x)=g>0, to \displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=\sqrt{g}.

Twierdzenie 12

O granicy funkcji ciągłej

Jeżeli funkcja f jest ciągła w punkcie x_0, to ma tym punkcie granicę równą f(x_0).