Definicja 1

Pierwiastek sześcienny

Pierwiastkiem sześciennym (pierwiastkiem trzeciego stopnia) z liczby a\in\mathbb{R} nazywamy taką liczbę b\in\mathbb{R}, która podniesiona do potęgi trzeciej jest równa a.

(0)\sqrt[3]a = b \iff b^3=a

Zauważmy, że w przeciwieństwie do pierwiastka kwadratowego, liczba podpierwiastkowa może być dowolną liczbą rzeczywistą a nie tylko liczbą nieujemną.

Uwaga 1

\sqrt[3]{a^3} i \sqrt[3]{-a}

Dla dowolnego a\in\mathbb{R} zachodzi:

(0)\sqrt[3]{-a}=-\sqrt[3]{a}(0)\sqrt[3]{a^3}=\left(\sqrt[3]{a}\right)^3

Przykład 1

Pierwiastek sześcienny

Przykłady pierwiastków sześciennych:

\displaystyle\sqrt[3]{\frac{8}{27}}=\frac{2}{3}, ponieważ \displaystyle\left(\frac{2}{3}\right)^3=\frac{8}{27}.
\displaystyle\sqrt[3]{-125}=-5, ponieważ (-5)^3=-125.
\displaystyle\sqrt[3]{3\frac{3}{8}}=\sqrt[3]{\frac{27}{8}}=\frac{3}{4}

Twierdzenie 1

Własności pierwiastka sześciennego

\sqrt[3]{a^3}=a

\left(\sqrt[3]{a}\right)^3=a,

\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{a}=a,

\sqrt[3]{a \cdot b}=\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{b},

\displaystyle \sqrt[3]{ \frac{a}{b} }= \frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}} .