Twierdzenie 1

O prawdopodobieństwie klasycznym

Niech \Omega będzie skończoną przestrzenią zdarzeń elementarnych w której wszystkie zdarzenia są jednakowo prawdopodobne. Prawdopodobieństwem zdarzenia losowego A\subset \Omega nazywamy liczbę:

(0)P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}

Innymi słowy, prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A jest równe ilorazowi liczby zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A do liczby wszystkich zdarzeń elementarnych należących do zbioru.

Uwaga 1

Uwaga

Przy obliczaniu prawdopodobieństwa klasycznego, często niezbędna jest znajomość kombinatoryki która ułatwia znalezienie liczby zdarzeń sprzyjających oraz wszystkich możliwych zdarzeń.

Definicja 1

Prawdopodobieństwo (definicja aksjomatyczna)

Niech \Omega będzie skończoną przestrzenią zdarzeń elementarnych. Prawdopodobieństwem określonym na \Omega nazywamy funkcję P, która dowolnemu zdarzeniu A\subset\Omega przyporządkowuje liczbę P(A) spełniającą warunki:

P(A)\ge 0,
P(\Omega)=1,
B\subset\Omega \land A\cap B=\emptyset\Rightarrow P(A\cup B)=P(A)+P(B)

Liczbę P(A) nazywamy prawdopodobieństwem zajścia zdarzenia A, a parę \left(\Omega,P\right)nazywamy przestrzenią probabilistyczną.

Twierdzenie 2

Własności prawdopodobieństwa

Niech P będzie prawdopodobieństwem określonym na przestrzeni zdarzeń elementarnych \Omega. Wówczas:

P(\emptyset)=0,
P(A)\le 1,
Jeżeli A\subset B\subset\Omega, to P(A)\le P(B)
Dla dowolnego A\subset\Omega, P(A')=1-P(A)
Dla dowolnych A,B\subset\Omega,
(0)P(A\backslash B)=P(A)-P(A\cap B)
Dla dowolnych A,B\subset\Omega,
(0)P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)
Dla dowolnych A_1,A_2,\dots,A_n\subset \Omega takich że A_i\cap A=\emptyset dla i\neq j zachodzi:
(0)P(A_1\cup A_2 \cup \ldots\cup A_n)=P(A_1)+P(A_2)+\ldots +P(A_n)
Dla dowolnych A,B,C\subset \Omega:
(0)\begin{aligned} P(A\cup B\cup C)&=P(A)+P(B)+P(C)\\&-P(A\cap B)-P(A\cap C)-P(B\cap C) \\&+ P(A\cap B\cap C) \end{aligned}

Definicja 2

Drzewo stochastyczne

Drzewo stochastyczne to graficzna reprezentacja wieloetapowego doświadczenia losowego, w którym wynik każdego etapu zależy od losowego wyboru zgodnie z określonymi prawdopodobieństwami.

Korzeń (węzeł początkowy) – punkt startowy procesu.
Węzły wewnętrzne (wierzchołki) – odpowiadają różnym możliwym etapom zdarzenia.
Gałęzie (krawędzie) – reprezentują możliwe przejścia między etapami, każda z przypisanym prawdopodobieństwem.
Liście (węzły końcowe) – odpowiadają możliwym końcowym wynikom procesu.

Prawdopodobieństwo zdarzenia to iloczyn prawdopodobieństw wzdłuż danej ścieżki drzewa.