Własności wartości bezwzględnej

Dla dowolnych $a,b\in\mathbb{R}$ a,b\in\mathbb{R} zachodzi:

Nieujemność
$|a|\ge 0$
|a|\ge 0(0)
Dodatnia określoność
$|a|=0 \iff a = 0$
|a|=0 \iff a = 0(0)
Równoważność kwadratów
$a^2=b^2 \iff |a|=|b|$
a^2=b^2 \iff |a|=|b|(0)
Równość wartości bezwzględnych
$|a|=|b| \iff (a=b \lor a = -b)$
|a|=|b| \iff (a=b \lor a = -b)(0)
Multiplikatywność
$|a \cdot b| = |a| \cdot |b|$
|a \cdot b| = |a| \cdot |b|(0)
Podaddytywność
$|a+b| \le |a| + |b|$
|a+b| \le |a| + |b|(0)
Symetryczność
$|-a| = |a|$
|-a| = |a|(0)
Nierówność trójkąta
$|a-b| \le |a-c| + |c-b|$
|a-b| \le |a-c| + |c-b|(0)

Dodatkowo, jeśli $b>0$ b>0 to:

\begin{align*} |a| \le b &\iff -b \le a \le b \\ |a| \ge b &\iff a\ge b \vee a \le -b \end{align*}

(0)

Zachodzi również:

\begin{aligned} \sqrt{a^2} &= |a|\\ |x|^2&=x^2\\ -|x|\le x &\le |x|\\ |a-b|\le& |a|+|b| \end{aligned}

(0)