Definicja 1

Prawdopodobieństwo warunkowe

Niech A,B\subset\Omega, gdzie \Omega - przestrzeń zdarzeń elementarnych oraz P(B)>0. Prawdopodobieństwem warunkowym zdarzenia A pod warunkiem, że zaszło zdarzenie B, nazywamy liczbę daną wzorem:

(0)P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}

Prawdopodobieństwo warunkowe P(A|B) jest z reguły różne od prawdopodobieństwa P(A), ponieważ wiedza o zajściu zdarzenia B daje nam dodatkowe informacje mogące mieć wpływ na prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A.

Wyróżniamy dwa sposoby obliczania prawdopodobieństwa warunkowego P(A|B):

Zawężenie przestrzeni zdarzeń elementarnych - ograniczamy przestrzeń zdarzeń elementarnych do tych sprzyjających zdarzeniu B i liczymy prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A ze wzoru na prawdopodobieństwo klasyczne, oczywiście ograniczając się do zawężonej przestrzeni.
Zachowanie pełnej przestrzeni zdarzeń elementarnych – nie zmieniamy zakresu analizowanych zdarzeń, lecz korzystamy bezpośrednio ze wzoru na prawdopodobieństwo warunkowe.

Twierdzenie 1

O prawdopodobieństwie warunkowym

Niech \Omega będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych z określonym na niej prawdopodobieństwem P oraz niech B\subset \Omega taka, że P(B)>0. Wówczas funkcja, która dowolnemu zdarzeniu A\subset\Omega przyporządkowuje liczbę P(A|B)= \frac{P(A\cap B)}{P(B)} spełnia aksjomaty prawdopodobieństwa.

Twierdzenie 2

O prawdopodobieństwie całkowitym

Niech \Omega będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych z określonym na niej prawdopodobieństwem P. Wówczas, jeżeli zdarzenia B_1,B_2,\ldots,B_n\subset\Omega spełniają następujące warunki:

B_1\cup B_2\cup\ldots\cup B_n=\Omega,
Dla każdego B_i, P(B_i)>0,
Dla dowolnych i,j\in\mathbb{N}, i\neq j, B_i\cap B_j=\emptyset,

to dla dowolnego A\subset \Omega zachodzi:

(0)P(A)=\sum_{i=1}^nP(A|B_i)P(B_i)

Twierdzenie 3

Wzór Bayesa

Niech dana będzie przestrzeń zdarzeń elementarnych \Omega z określonym na niej prawdopodobieństwem P. Jeżeli zdarzenia B_1,B_2,\ldots,B_n\subset\Omega spełniają następujące warunki:

B_1\cup B_2\cup\ldots\cup B_n=\Omega,
Dla każdego B_i, P(B_i)>0,
Dla dowolnych i,j\in\mathbb{N}, i\neq j, B_i\cap B_j=\emptyset,

to dla dowolnego zdarzenia A\subset\Omega o dodatnim prawdopodobieństwie zachodzi wzór:

(0)P(B_k|A)=\frac{P(A|B_k)P(B_k)}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}P(A|B_i)P(B_i)}=\frac{P(A|B_k)P(B_k)}{P(A)}