Definicja 1

Graniastosłup

Graniastosłupem nazywamy wielościan, którego dwie ściany, zwane podstawami, są przystającymi wielokątami zawartymi w płaszczyznach równoległych, natomiast pozostałe ściany (tzw. ściany boczne), są równoległobokami których wierzchołki należą do podstaw. Krawędzie boczne graniastosłupa są równoległe oraz tej samej długości.

Uwaga 1

Uwaga

Zauważ, że

Wierzchołek graniastosłupa to punkt
Krawędź graniastosłupa (boczna i podstawy) to odcinek
Ściana i podstawa graniastosłupa to wielokąty.

Uwaga 2

Uwaga

Zauważ, że aby narysować graniastosłup, czyli figurę przestrzenną, musimy odpowiednio zakrzywić i spłaszczyć jego podstawę. W innym wypadku rysunek byłby nieczytelny.

Graniastosłup który w podstawie ma trójkąt nazywamy graniastosłupem trójkątnym, kwadrat nazywamy graniastosłupem czworokątnym itd.

Graniastosłupy dzielimy na dwa rodzaje: proste i foremne.

Definicja 2

Graniastosłup prosty

Mówimy, że graniastosłup jest prosty, jeżeli krawędzie ścian bocznych są prostopadłe do podstaw, a więc są prostokątami.

Definicja 3

Graniastosłup pochyły

Graniastosłupem pochyłym nazywamy graniastosłup który nie jest prosty, a zatem taki którego ściany boczne są równoległobokami.

Definicja 4

Graniastosłup prawidłowy (foremny)

Graniastosłup prosty, który w podstawie ma wielokąt foremny, nazywamy graniastosłupem prawidłowym (foremnym).

Definicja 5

Krawędź boczna graniastosłupa

Krawędź graniastosłupa, która nie jest krawędzią podstawy nazywamy krawędzią boczną.

Definicja 6

Wysokość graniastosłupa

Wysokością graniastosłupa nazywamy dowolny odcinek (oraz jego długość) łączący płaszczyzny zawierające jego podstawy i będący do nich prostopadły.

Uwaga 3

Krawędź jako wysokość graniastosłupa

Zauważ, że każda krawędź boczna graniastosłupa prostego jest również jego wysokością, co nie jest prawdą w przypadku graniastosłupa pochyłego w którym krawędź boczna jest dłuższa od wysokości.

Definicja 7

Przekątna podstawy graniastosłupa

Przekątną podstawy graniastosłupa nazywamy odcinek łączący dwa niesąsiadujące ze sobą wierzchołki podstawy graniastosłupa.

Uwaga 4

Istnienie przekątnej podstawy graniastosłupa

Graniastosłup trójkątny to jedyny graniastosłup który nie posiada przekątnej podstawy.

Definicja 8

Przekątna ściany bocznej

Przekątną ściany bocznej graniastosłupa nazywamy odcinek łączący dwa niesąsiadujące ze sobą wierzchołki ściany bocznej graniastosłupa.

Definicja 9

Przekątna graniastosłupa

Przekątną graniastosłupa nazywamy odcinek łączący wierzchołek górnej podstawy z wierzchołkiem dolnej podstawy, który nie jest zawarty w żadnej ścianie graniastosłupa.

Definicja 10

Powierzchnia boczna i całkowita

Powierzchnia boczna graniastosłupa to powierzchnia wszystkich jego ścian bocznych, natomiast powierzchnia całkowita graniastosłupa to suma powierzchni bocznej oraz powierzchni obu podstaw (suma wszystkich jego ścian):

(0)P_c=2P_p+P_b

Objętość graniastosłupa zależy od powierzchni jego podstawy oraz wysokości.

Twierdzenie 1

Objętość graniastosłupa

Objętość dowolnego graniastosłupa (zarówno prostego i pochyłego) dana jest wzorem:

(0)V=P_p\cdot H

gdzie P_p to pole podstawy tego graniastosłupa, a H - jego wysokość.

Twierdzenie 2

Własności graniastosłupa

Graniastosłup którego podstawą jest n-kąt posiada:

n ścian bocznych,
n+2 wszystkich ścian,
2n wierzchołków,
3n krawędzi

Wzór na objętość graniastosłupa