Definicje funkcji trygonometrycznych możemy rozszerzyć dla dowolnego kąta.

Definicja 1

Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta

Niech w układzie współrzędnych dany będzie kąt \alpha którego wierzchołkiem jest początek układ współrzędnych, jedno z ramion (tzw. pierwsze ramię) pokrywa się z dodatnią półosią OX, a drugie ramię (tzw. ramie końcowe) leży w dowolnej z ćwiartek układu. Na ramieniu końcowym wybieramy punkt P=(x,y), różny od początku układu współrzędnych, tj. P\neq(0,0) oraz leżący na ramieniu końcowym kąta \alpha\in[0^\circ, 360^\circ]. Wówczas funkcje trygonometryczne kąta \alpha definiujemy następująco:

(0)\begin{align*} \sin\alpha&=\frac{y}{r}\\ \cos\alpha&=\frac{x}{r}\\ \tg\alpha &=\frac{y}{x}\quad (x\neq 0)\\ \ctg\alpha &= \frac{x}{y}\quad (y\neq 0) \\ \end{align*}

gdzie

(0)r=|OP|=\sqrt{x^2+y^2}

Dodatkowo, dla dowolnego k\in\mathbb{Z}:

(0)\begin{align*} \sin(\alpha+k\cdot 360^\circ)&=\sin\alpha\\ \cos(\alpha + k\cdot 360^\circ)&=\cos\alpha\\ \tg(\alpha+k\cdot 360^\circ)&=\tg\alpha \quad (\alpha\neq90^\circ\land\alpha \neq 270^\circ)\\ \ctg(\alpha + k\cdot 360^\circ)&=\ctg \alpha \quad (\alpha \neq 0^\circ\land \alpha \neq 180^\circ) \end{align*}

Uwaga 1

Uwaga

Zauważ, że wprost z powyższej definicji wynika, że:

tangens nie istnieje dla kątów 90^\circ i 270^\circ .
cotangens nie istnieje dla kątów 0^\circ i 180^\circ

natomiast sinus i cosinus istnieją dla dowolnego kąta.

Uwaga 2

Uwaga

Dla kątów ostrych \alpha\in(0^\circ ,90^\circ ) powyższa definicja jest równoważna definicji funkcji trygonometrycznych dla kątów ostrych.

Uwaga 3

Uwaga

Wartości funkcji trygonometrycznych nie zależą od wyboru punktu P na ramieniu końcowym kąta.

Uwaga 4

Uwaga

Tangens i cotangens mogą przyjmować dowolne wartości rzeczywiste, natomiast wartości sinusa i cosinusa zawsze mieszczą się w przedziale [-1,1].

Definicja 2

Funkcja okresowa

Mówimy, że funkcja f:D\subset\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} jest okresowa jeżeli istnieje T\neq0 takie, że dowolnego x\in D, liczba x+T\in D oraz zachodzi równość f(x+T)=f(x). Liczbę T nazywamy okresem funkcji f a o samej funkcji f możemy również powiedzieć że jest funkcją T-okresową.

Definicja 3

Miara stopniowa kąta

Miara stopniowa kąta to sposób określania wielkości kąta, w którym pełny obrót, odpowiadający kątowi pełnemu, jest podzielony na 360 równych części, zwanych stopniami. Jeden stopień oznaczany symbolem (^\circ) jest równy \frac{1}{360} kąta pełnego. W mierzej stopniowej obowiązuje następująca hierarchia podziału:

Jednostką podstawową jest 1^\circ,
Kąt pełny ma 360^\circ.

Jeden stopień (1^\circ) dzieli się na 60 minut kątowych (1'), gdzie 1'=\frac{1}{60}^\circ
Jedna minuta kątowa (1') dzieli się na 60 sekund kątowych (1''), gdzie 1''=\frac{1}{60}'=\frac{1}{3600}^\circ

Definicja 4

Miara łukowa kąta

Miarą łukową kąta \alpha nazywamy stosunek długości łuku l na którym ten kąt jest oparty, do długości promienia okręgu r, dla którego kąt \alpha jest kątem środkowym.

(0)\alpha=\frac{l}{r}

W mierze łukowej:

Jednostką podstawową jest jeden radian (1\ \text{rad})
Kąt pełny ma 2\pi radianów.

Uwaga 5

Zamiana jednostek

Ponieważ 360^\circ =2\pi \text{ rad}, to 1^\circ = \frac{\pi}{180^\circ } , zatem n^\circ = \frac{n\pi }{180 }\text{ rad} oraz n\text{rad}= \frac{n \cdot 180^\circ }{\pi}

Twierdzenie 1

Podstawowe tożsamości trygonometryczne

Zachodzą następujące zależności pomiędzy wartościami funkcji trygonometrycznych:

Dla dowolnego \alpha\in[0^\circ ,360^\circ ] (jedynka trygonometryczna)
(0)\begin{aligned} \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1 \end{aligned}
Dla dowolnego \alpha\in[0^\circ ,360^\circ ], \alpha\neq 90^\circ ,\alpha\neq270^\circ :
(0)\displaystyle \tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}
Dla dowolnego \alpha\in[0^\circ ,360^\circ ], \alpha\neq180^\circ :
(0)\displaystyle \ctg\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}
Dla dowolnego \alpha\in[0^\circ ,360^\circ ], \alpha\neq 90^\circ ,\alpha\neq180^\circ,\alpha\neq270^\circ :
(0)\tg\alpha \cdot \ctg\alpha=1

Twierdzenie 2

Wzory redukcyjne kąta 90^\circ+\alpha

Zachodzą następujące wzory redukcyjne dla kąta 90^\circ +\alpha:

Dla a\in[0^\circ ,270^\circ ]:
(0)\sin(90^\circ+\alpha)=\cos\alpha
Dla a\in[0^\circ ,270^\circ ]:
(0)\cos(90^\circ+\alpha)=-\sin\alpha
Dla a\in(0^\circ ,180^\circ )\cup(180^\circ ,270^\circ ):
(0)\tg(90^\circ+\alpha)=-\ctg\alpha
Dla a\in(0^\circ ,90^\circ )\cup(90^\circ ,270^\circ ):
(0)\ctg(90^\circ+\alpha)=-\tg\alpha

Twierdzenie 3

Wzory redukcyjne kąta 180^\circ-\alpha

Zachodzą następujące wzory redukcyjne dla kąta 180^\circ -\alpha:

Dla a\in[0^\circ ,180^\circ ]:
(0)\sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha
Dla a\in[0^\circ ,180^\circ ]:
(0)\cos(180^\circ-\alpha)=-\cos\alpha
Dla a\in[0^\circ ,90^\circ )\cup(90^\circ ,180^\circ ):
(0)\tg(180^\circ-\alpha)=-\tg\alpha
Dla a\in(0^\circ ,180^\circ ):
(0)\ctg(180^\circ-\alpha)=-\ctg\alpha

Twierdzenie 4

Wzory redukcyjne kąta 180^\circ+\alpha

Zachodzą następujące wzory redukcyjne dla kąta 180^\circ +\alpha:

Dla a\in[0^\circ ,180^\circ ]:
(0)\sin(180^\circ+\alpha)=-\sin\alpha
Dla a\in[0^\circ ,180^\circ ]:
(0)\cos(180^\circ+\alpha)=-\cos\alpha
Dla a\in[0^\circ ,90^\circ )\cup(90^\circ ,180^\circ ):
(0)\tg(180^\circ+\alpha)=\tg\alpha
Dla a\in(0^\circ ,180^\circ ):
(0)\ctg(180^\circ+\alpha)=\ctg\alpha

Twierdzenie 5

Wzory redukcyjne kąta 270^\circ+\alpha

Zachodzą następujące wzory redukcyjne dla kąta 270^\circ +\alpha:

(0)\begin{aligned} &\sin{\left ( 270^\circ +\alpha \right )}=-\cos{\alpha }\\ &\cos{\left ( 270^\circ +\alpha \right )}=\sin{\alpha }\\ &\tg{\left ( 270^\circ +\alpha \right )}=-\ctg{\alpha }\\ &\ctg{\left ( 270^\circ +\alpha \right )}=-\tg{\alpha } \end{aligned}

Twierdzenie 6

Wzory redukcyjne kąta 270^\circ-\alpha

Zachodzą następujące wzory redukcyjne dla kąta 270^\circ -\alpha:

(0)\begin{aligned} &\sin{\left ( 270^\circ -\alpha \right )}=-\cos{\alpha }\\ &\cos{\left ( 270^\circ -\alpha \right )}=-\sin{\alpha }\\ &\tg{\left ( 270^\circ -\alpha \right )}=\ctg{\alpha }\\ &\ctg{\left ( 270^\circ -\alpha \right )}=\tg{\alpha } \end{aligned}

Twierdzenie 7

Wzory redukcyjne kąta 360^\circ-\alpha

Zachodzą następujące wzory redukcyjne dla kąta 360^\circ-\alpha:

(0)\begin{aligned} &\sin{\left ( 360^\circ -\alpha \right )}=-\sin{\alpha }\\ &\cos{\left ( 360^\circ -\alpha \right )}=\cos{\alpha }\\ &\tg{\left ( 360^\circ -\alpha \right )}=-\tg{\alpha }\\ &\ctg{\left ( 360^\circ -\alpha \right )}=-\ctg{\alpha } \end{aligned}

Twierdzenie 8

Wzory redukcyjne kąta 360^\circ+\alpha

Zachodzą następujące wzory redukcyjne dla kąta 360^\circ+\alpha:

(0)\begin{aligned} &\sin{\left ( 360^\circ +\alpha \right )}=\sin{\alpha }\\ &\cos{\left ( 360^\circ +\alpha \right )}=\cos{\alpha }\\ &\tg{\left ( 360^\circ +\alpha \right )}=\tg{\alpha }\\ &\ctg{\left ( 360^\circ +\alpha \right )}=\ctg{\alpha } \end{aligned}

Twierdzenie 9

Funkcje trygonometryczne sumy i różnicy

Dla dowolnych x,y\in\mathbb{R} zachodzą następujące równości:

(0)\sin(x+y)=\sin x\cos y + \cos x \sin y\\ \sin(x-y)=\sin x\cos y - \cos x \sin y\\ \cos(x+y)=\cos x\cos y - \sin x \sin y\\ \cos(x-y)=\cos x \cos y + \sin x \sin y

Dodatkowo:

(0)\tg(x+y)=\frac{\tg x + \tg y}{1-\tg x\tg y}\\ \tg(x-y)=\frac{\tg x - \tg y}{1+\tg x \tg y}\\ \ctg(x+y)=\frac{\ctg x\cdot \ctg y - 1}{\ctg y+\ctg x}\\ \ctg(x-y)=\frac{\ctg x\cdot \ctg y + 1}{\ctg y - \ctg x}

Twierdzenie 10

Funkcje trygonometryczne podwojonego kąta

Dla dowolnego x\in\mathbb{R} zachodzą następujące równości:

(0)\begin{align*} \sin2x&=2\sin x\cos x\\ \cos2x&=\cos^2x - \sin^2x\\ \tg2x&=\frac{2\tg x}{1-\tg^2 x}\\ \ctg2x&=\frac{\ctg x - \tg x}{2}=\frac{\ctg^2x-1}{2\ctg x} \end{align*}

Uwaga 6

Znak funkcji trygonometrycznych

Zapamiętanie znaku funkcji trygonometrycznych w poszczególnych ćwiartkach układu współrzędnych ułatwi nam następująca rymowanka:

W pierwszej ćwiartce same plusy,
w drugiej tylko sinus,
w trzeciej tangens i cotangens,
w czwartej cosinus.

Poniższa tabela podsumowuje wzory redukcyjne dla kątów wyrażonych w mierze stopniowej i łukowej:

\varphi	-\alpha	\displaystyle \frac{\pi}{2}-\alpha (90^\circ -\alpha)	\displaystyle \frac{\pi}{2}+\alpha (90^\circ +\alpha)	\pi-\alpha (180^\circ -\alpha)	\pi+\alpha(180^\circ +\alpha)	(0) \frac{3\pi}{2}-\alpha (270^\circ -\alpha)	(0) \frac{3\pi}{2}+\alpha (270^\circ +\alpha)	2\pi-\alpha (360^\circ -\alpha)
\sin \varphi	-\sin \varphi	\cos\alpha	\cos\alpha	\sin\alpha	-\sin\alpha	-\cos\alpha	-\cos\alpha	-\sin\alpha
\cos \varphi	\cos \varphi	\sin\alpha	-\sin\alpha	-\cos\alpha	-\cos\alpha	-\sin\alpha	\sin\alpha	\cos\alpha
\tg \varphi	-\tg \varphi	\ctg\alpha	-\ctg\alpha	-\tg\alpha	\tg\alpha	\ctg\alpha	-\ctg\alpha	-\tg\alpha
\ctg \varphi	-\ctg \varphi	\tg\alpha	-\tg\alpha	-\ctg\alpha	\ctg\alpha	\tg\alpha	-\tg\alpha	-\ctg\alpha

Wzory redukcyjne kąta 180° - α