Niech dana będzie funkcja kwadratowa

(0)f(x)=ax^2+bx+c

taka, że \Delta \ge 0. Wiemy, że

(0)\begin{aligned} x_1&= \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\\ x_2&= \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\\ \end{aligned}

Dodając i mnożąc przez siebie miejsca zerowe funkcji kwadratowej otrzymujemy odpowiednio:

(0)\displaystyle \begin{aligned} x_1+x_2&= \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}+ \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\\ &= \frac{-b-\sqrt{\Delta} -b+\sqrt{\Delta}}{2a}\\ &=- \frac{b}{a} \end{aligned}

oraz

(0)\begin{aligned} x_1 \cdot x_2&=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} \cdot \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\\ &= \frac{(-b)^2-(\sqrt{\Delta})^2}{4a}\\ &=\frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a}\\ &= \frac{c}{a} \end{aligned}

Właśnie wyprowadziliśmy tzw. Wzory Viete’a.

Twierdzenie 1

Wzory Viete’a

Niech dana będzie funkcja kwadratowa f(x)=ax^2+bx+c. Jeżeli \Delta> 0, to zachodzą następujące zależności pomiędzy miejscami zerowymi x_1,x_2 funkcji f:

(0)\begin{align*} x_1+x_2&=-\frac{b}{a}\\ x_1\cdot x_2&=\frac{c}{a} \end{align*}

Jeżeli \Delta=0 i x_0 jest jedynym miejscem zerowym funkcji f, to powyższe zależności upraszają się do:

(0)\begin{aligned} 2x_0&=- \frac{b}{a} \\ x^2&= \frac{c}{a} \end{aligned}

Uwaga 1

Uwaga

Z wzorów Viete’a często korzystamy przy rozwiązywaniu równań i nierówności kwadratowych z parametrem.

Wzory Viete'a