Równanie trygonometryczne: sinus/cosinus sumy/różnicy kątów

Ten typ obejmuje te zadania z , w których jedną z możliwych strategii rozwiązywania jest zastosowanie .

Tego typu równania da się z reguły rozwiązać również alternatywnymi sposobami opartymi na wykorzystaniu , , , czy .

W tym przykładzie równanie zawiera funkcje trygonometryczne sinus i cosinus zmiennych $\displaystyle x\pm \frac{\pi}{3}$\displaystyle x\pm \frac{\pi}{3} , $\displaystyle x\pm \frac{\pi}{4}$\displaystyle x\pm \frac{\pi}{4} lub $\displaystyle x\pm \frac{\pi}{6}$\displaystyle x\pm \frac{\pi}{6} . Korzystając z sprowadzamy równanie do postaci w której występują wyłącznie funkcje trygonometryczne zmiennej $x$x, po drodze wykorzystując .

Alternatywnie, korzystając ze możemy dokonać redukcji kąta i funkcji w taki sposób, aby obie strony zawierały tę samą funkcję trygonometryczną tego samego kąta, co prowadzi do prostego równania liniowego.

W tym wariancie w równaniu występują funkcje trygonometryczne sinus i cosinus tego samego, zwielokrotnionego kąta $nx$nx.

Rozwiązanie najczęściej polega na dostrzeżeniu, że współczynniki przy tych funkcjach trygonometrycznych (potencjalnie po podzieleniu równania stronami przez stałą) to wartości funkcji trygonometrycznych kątów $\displaystyle \frac{\pi}{6}$\displaystyle \frac{\pi}{6} , $\displaystyle \frac{\pi}{4}$\displaystyle \frac{\pi}{4} lub $\displaystyle \frac{\pi}{3}$\displaystyle \frac{\pi}{3} . W takim razie, korzystając z zamieniamy występująca w wyrażeniu sumę / różnicę funkcji trygonometrycznych na jedną funkcję trygonometryczną sumy bądź różnicy kątów.

Alternatywnie, możemy podnieść całe równanie stronami do kwadratu, a następnie - po zastosowaniu - sprowadzić je do równania kwadratowego jednej zmiennej. Trzeba jednak zachować ostrożność, ponieważ operacja podnoszenia do kwadratu może wprowadzić rozwiązania które nie spełniają początkowej równości, dlatego dla każdego z otrzymanych rozwiązań należy sprawdzić prawdziwość wyjściowego równania.

W tym wariancie w równaniu pojawiają się funkcje trygonometryczne sinus i cosinus kątów $nx$nx, $mx$mx oraz $(n+m)x$(n+m)x. Taka struktura od razu sugeruje użycie dla funkcji z kątem $(n+m)x$(n+m)x. Często po uproszczeniu powstałych w ten sposób składników otrzymujemy równanie do którego ponownie możemy użyć , dzięki czemu całe równanie można ostatecznie sprowadzić do pojedynczej funkcji trygonometrycznej zwielokrotnionego kąta.

Alternatywnie, jeżeli funkcje trygonometryczne kątów $nx$nx i $mx$mx występują w iloczynie, to możemy skorzystać z , zamieniając ten iloczyn na sumę funkcji trygonometrycznych, z których jedna z reguły skraca się z funkcją trygonometryczną kąta $(n+m)x$(n+m)x.

W tym przykładzie, w jednej z funkcji trygonometrycznych występuje potrojony kąt $3x$3x. Rozwiązanie polega najpierw na skorzystaniu z dla wyrażenia $3x=2x+x$3x=2x+x, a następnie - w razie potrzeby - z .

Alternatywnie można od razu skorzystać z gotowych wzorów na .