Odczytywanie własności funkcji z wykresu (bez wzoru)

Ten typ obejmuje zadania, w których własności funkcji odczytujemy z jej w układzie współrzędnych. Wykres funkcji $f$f to zbiór wszystkich punktów, których pierwsza współrzędna należy do dziedziny, a druga jest wartością funkcji dla tego argumentu:

Argumenty odczytujemy więc na osi $OX$OX, a wartości — na osi $OY$OY. Każda własność ma na rysunku swój obraz: to rzut wykresu na oś $OX$OX, — rzut na oś $OY$OY, — pierwsze współrzędne punktów wspólnych wykresu z osią $OX$OX, a znak funkcji wynika z położenia wykresu nad tą osią lub pod nią.

Zadania, w których funkcja jest dana tylko wzorem, zostały zebrane w osobnym typie .

W tym wariancie szukamy , czyli zbioru wszystkich argumentów, dla których funkcja jest określona. Patrzymy, nad którymi lub pod którymi punktami osi $OX$OX leżą punkty wykresu, a o domknięciu końców przedziałów decydują kółka pełne i puste.

W tym zadaniu wykres składa się z trzech części, a przy argumentach, w których przeskakuje, są kółka puste i pełne. Argument, nad którym jest choć jedno kółko pełne, należy do dziedziny, więc przeskok wykresu nie musi oznaczać przerwy w dziedzinie.

Tutaj wykres składa się z dwóch części oddzielonych przerwą, więc dziedzina jest sumą dwóch przedziałów — argumenty z przerwy do niej nie należą.

W tym wariancie szukamy , czyli wszystkich liczb, które funkcja przyjmuje. Rzutujemy wykres na oś $OY$OY — zbiór wartości tworzą drugie współrzędne wszystkich punktów wykresu.

W tym zadaniu puste kółka są zarówno przy najmniejszej, jak i przy największej wartości. Dla każdej z nich sprawdzamy, czy funkcja przyjmuje ją w innym punkcie — od tego zależy, czy koniec przedziału jest domknięty.

Tutaj wykres składa się z dwóch części, których rzuty na oś $OY$OY się nie stykają, więc zbiór wartości jest sumą przedziałów. Końce części są pustymi kółkami, więc dla każdego końca sprawdzamy, czy ta wartość nie pojawia się w innym punkcie wykresu.

Tutaj postępujemy odwrotnie: spośród fragmentów parabol wybieramy ten, który ma podany zbiór wartości. Wyznaczają go kierunek ramion i druga współrzędna wierzchołka — zadania o zbiorze wartości funkcji kwadratowej zostały zebrane w osobnym typie .

W tym wariancie odczytujemy wartość $f(x_0)$f(x_0) dla podanego argumentu $x_0$x_0: znajdujemy na wykresie punkt o pierwszej współrzędnej $x_0$x_0 i odczytujemy jego drugą współrzędną.

W tym zadaniu odczytujemy wartości funkcji w trzech punktach i obliczamy ich iloczyn, więc ważny jest znak każdej odczytanej wartości.

Tutaj odczytujemy wartości funkcji dla kilku argumentów i porównujemy je, aby wskazać prawdziwą nierówność.

Tutaj argument jest liczbą niewymierną, więc najpierw szacujemy, między którymi liczbami całkowitymi leży. To wystarcza, bo w tym przedziale funkcja jest stała — jej wartość odczytujemy z poziomego odcinka wykresu.

W tym wariancie szukamy argumentów, dla których funkcja przyjmuje daną wartość $c$c. Rozwiązania równania $f(x)=c$f(x)=c to pierwsze współrzędne punktów wspólnych wykresu z prostą poziomą $y=c$y=c, a — pierwsze współrzędne punktów wspólnych wykresu z osią $OX$OX, czyli argumenty, dla których $f(x)=0$f(x)=0. Liczba rozwiązań równania to liczba punktów wspólnych.

W tym zadaniu porównujemy cztery wykresy i dla każdego liczymy punkty wspólne z osią $OX$OX, ale tylko w podanym przedziale — punkty spoza niego pomijamy.

Tutaj zamiast miejsc zerowych liczymy rozwiązania równania z liczbą różną od zera, więc wykres przecinamy prostą poziomą, a nie osią $OX$OX. Przedział jest otwarty, więc punkty wspólne leżące poza nim lub na jego końcach pomijamy.

Tutaj wykres zawiera poziome odcinki. Jeśli prosta pozioma zawiera cały taki odcinek, każdy jego punkt jest punktem wspólnym — wtedy rozwiązań jest nieskończenie wiele.

W tym wariancie szukamy argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie, ujemne albo większe lub mniejsze od danej liczby $c$c. Rozwiązania nierówności $f(x)>c$f(x)>c to pierwsze współrzędne punktów wykresu leżących nad prostą $y=c$y=c, a nierówności $f(x)<c$f(x)<c — pod nią. Dla $c=0$c=0 korzystamy z : funkcja przyjmuje wartości dodatnie tam, gdzie wykres leży nad osią $OX$OX, a ujemne — tam, gdzie leży pod nią.

Przy nierówności ostrej argumenty punktów leżących na prostej $y=c$y=c odrzucamy, a przy nieostrej — dołączamy.

W tym zadaniu wykresem jest fragment paraboli, a szukamy argumentów, dla których wartości są ujemne, czyli części wykresu leżącej pod osią $OX$OX.

Tutaj porównujemy wykres z prostą poziomą różną od osi $OX$OX, a nierówność jest nieostra, więc dołączamy argumenty punktów leżących na tej prostej.

Tutaj w jednym z miejsc zerowych wykres dotyka osi $OX$OX od dołu, nie przecinając jej. Wartości po obu stronach tego argumentu są ujemne, ale sam argument trzeba wykluczyć ze zbioru, w którym funkcja jest ujemna.

W tym wariancie szukamy przedziałów, w których funkcja jest albo . Funkcja jest rosnąca w przedziale, jeśli przy przesuwaniu się w prawo wzdłuż osi $OX$OX jej wykres się wznosi, czyli dla dowolnych argumentów z tego przedziału zachodzi:

Dla funkcji malejącej wykres opada, a nierówność między wartościami jest odwrotna.

W tym zadaniu wykres ma odcinki poziome i przeskoki, a wybieramy przedział, w którym funkcja maleje. Na poziomym odcinku funkcja jest stała, więc nie jest malejąca — taki odcinek nie może należeć do szukanego przedziału.

Tutaj dziedzina składa się z trzech rozłącznych przedziałów, a szukamy przedziału, w którym funkcja rośnie — taki przedział musi w całości należeć do dziedziny.

Tutaj wykres ma przeskok na końcu jednego z przedziałów, więc warunek monotoniczności sprawdzamy także dla argumentów leżących po obu stronach przeskoku — wartość w tym punkcie może go naruszać.

W tym wariancie szukamy największej lub najmniejszej wartości funkcji albo argumentów, dla których jest ona przyjmowana. Największa wartość to druga współrzędna najwyższego punktu wykresu, a najmniejsza — najniższego.

W tym zadaniu szukamy największej wartości tylko w podanym przedziale, więc bierzemy pod uwagę część wykresu nad tym przedziałem i pod nim. Najwyższy punkt całego wykresu leży poza przedziałem, więc go pomijamy.

Tutaj szukamy najmniejszej wartości w przedziale, a najniższy punkt tej części wykresu leży wewnątrz przedziału, nie na jego końcu — dlatego sprawdzamy całą tę część wykresu, a nie tylko wartości na końcach.

Tutaj pytamy nie o samą największą wartość, lecz o wszystkie argumenty, dla których funkcja ją przyjmuje. Najwyżej leży poziomy odcinek wykresu, więc argumenty tworzą przedział, a o jego końcach decydują kółka pełne i puste.

W tym wariancie oprócz wykresu znamy wzór funkcji określonej różnymi wzorami w kolejnych przedziałach. Z wykresu odczytujemy, w którym przedziale leży szukany punkt, a jego dokładne współrzędne obliczamy ze wzoru obowiązującego w tym przedziale.

W tym zadaniu szukamy argumentów, dla których funkcja jest nieujemna. Jedno z miejsc zerowych nie jest liczbą całkowitą i nie da się go dokładnie odczytać z rysunku, więc przyrównujemy do zera wzór z przedziału, w którym ono leży, i sprawdzamy, czy wynik do tego przedziału należy.

Tutaj rozwiązujemy nierówność ostrą. Z wykresu widać, że spełniają ją tylko argumenty z ostatniego przedziału, więc koniec zbioru rozwiązań wyznaczamy z nierówności liniowej dla wzoru z tego przedziału, a argument, dla którego zachodzi równość, odrzucamy.