Trójkąt

Ten typ obejmuje różne zadania o dowolnym , najczęściej o jego polu. Pole obliczamy ze albo ze :

W pierwszym wzorze $h_a$h_a to opuszczona na bok $a$a lub jego przedłużenie, a w drugim $\gamma$\gamma to kąt między bokami $a$a i $b$b.

Zadania dotyczące trójkąta równoramiennego zostały zebrane w osobnym typie , zadania z trójkątem równobocznym — w typie , a zadania z trójkątem prostokątnym — w typie . Zadania, w których pole trójkąta obliczamy ze współrzędnych jego wierzchołków, zostały zebrane w osobnym typie .

W tym wariancie znamy dwa boki trójkąta i kąt między nimi albo sinus tego kąta. Podstawiamy je do , pilnując, by kąt leżał między bokami, które mnożymy. Wartości sinusa kątów $30^\circ$30^\circ, $45^\circ$45^\circ, $60^\circ$60^\circ odczytujemy z tablic.

W tym zadaniu znamy dwa boki i kąt $60^\circ$60^\circ między nimi, więc od razu podstawiamy je do wzoru.

Tutaj znamy wszystkie kąty trójkąta i oceniamy kilka wyrażeń na jego pole — poprawne są tylko te, w których kąt leży między mnożonymi bokami, czyli naprzeciw trzeciego boku.

Tutaj kąt między danymi bokami jest rozwarty, więc jego sinus zastępujemy sinusem kąta ostrego, który dopełnia go do $180^\circ$180^\circ — wynika to ze . Pole można też porównać z polem trójkąta o tej samej wysokości i równej podstawie.

Tutaj wzór stosujemy do dwóch trójkątów o wspólnym boku, na które dzieli trójkąt dwusieczna: mają one równe kąty przy wspólnym boku, więc ich pola są w stosunku pozostałych boków. Zadania o podziale boku przez dwusieczną zostały zebrane w osobnym typie .

W tym wariancie zamiast sinusa kąta znamy jego cosinus. Sinus obliczamy z $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1:

Bierzemy wartość dodatnią, bo kąt trójkąta ma miarę z przedziału $(0^\circ,180^\circ)$(0^\circ,180^\circ), a w nim sinus jest dodatni. Potem stosujemy wzór na pole z sinusem.

W tym zadaniu znamy dwa boki i cosinus kąta między nimi, a szukamy pola całego trójkąta.

Tutaj punkty dzielą boki w danym stosunku, więc wzór z sinusem stosujemy do całego trójkąta i do mniejszego trójkąta o tym samym kącie, a pole czworokąta, który zostaje, obliczamy jako różnicę tych pól.

W tym wariancie prowadzimy trójkąta i rozważamy trójkąty prostokątne, które ona tworzy. Stosujemy w nich albo zależności między bokami w trójkątach o kątach $30^\circ$30^\circ, $60^\circ$60^\circ, $90^\circ$90^\circ. Trzeci bok można też obliczyć z twierdzenia cosinusów — zadania rozwiązywane w ten sposób zostały zebrane w osobnym typie .

W tym zadaniu spodek wysokości leży na boku i dzieli go na dwa odcinki o danych długościach, więc w obu powstałych trójkątach prostokątnych stosujemy twierdzenie Pitagorasa.

Tutaj trójkąt jest rozwartokątny, więc wysokość opuszczona z wierzchołka kąta ostrego pada na przedłużenie boku; kąt przyległy do kąta rozwartego jest kątem ostrym powstałego trójkąta prostokątnego.

Tutaj również kąt jest rozwarty, a znamy bok przy nim i bok naprzeciw niego. Po poprowadzeniu wysokości na przedłużenie boku w mniejszym trójkącie prostokątnym korzystamy z kąta przyległego do kąta rozwartego, a w większym — z twierdzenia Pitagorasa.