Równanie trygonometryczne: podwojony kąt

Ten typ obejmuje te zadania z , których rozwiązanie sprowadza się w głównej mierze do przekształcenia wyrażenia za pomocą .

Prosty przykład w którym występuje jedynie $\cos x$\cos x i $\cos 2x$\cos 2x. Korzystając z zamieniamy $\cos 2x$\cos 2x na $2\cos ^2x-1$2\cos ^2x-1 i podstawiając $y=\cos x$y=\cos x otrzymujemy równanie kwadratowe.

Analogiczny przykład co wyżej - korzystając z zamieniamy $\cos 2x$\cos 2x na $1-2\sin ^2x$1-2\sin ^2x i podstawiając $y=\sin x$y=\sin x otrzymujemy równanie kwadratowe.

Korzystając z , zamieniamy $\sin 2ax$\sin 2ax na iloczyn $2\sin ax\cos ax$2\sin ax\cos ax, dzięki czemu w kolejnym kroku możemy wyciągnąć $\cos ax$\cos ax przed nawias.

Równanie trygonometryczne z sinusem w pierwszej potędze, cosinusem w drugiej potędze oraz cosinusem podwojonego kąta w pierwszej potędze.

Najpierw korzystając z oraz zamieniamy cosinusy na sinusy, a następnie rozwiązujemy równanie kwadratowe otrzymane w wyniku podstawienia $t=\sin x$t=\sin x.

Równanie trygonometryczne z różnicą $\left(\cos ^2x-\sin ^2x\right)$\left(\cos ^2x-\sin ^2x\right) oraz sinusem podwojonego kąta, tj. $\sin 2x$\sin 2x.

Najpierw korzystając z zamieniamy $\cos^2x-\sin^2x$\cos^2x-\sin^2x na $\cos 2x$\cos 2x. Wówczas, równanie zawiera funkcje trygonometryczne $\cos2x$\cos2x i $\sin2x$\sin2x, które możemy dalej przekształcić dzieląc je obustronnie przez $\cos2x$\cos2x i korzystając ze .

Alternatywnie, może się zdarzyć, że współczynniki przy $\cos 2x$\cos 2x i $\sin2x$\sin2x to znane wartości funkcji trygonometrycznych kątów ostrych, dzięki czemu równanie możemy przekształcić korzystając z , doprowadzając je do postaci równania z jedną funkcją trygonometryczną sumy/różnicy kątów.

Równanie w którym występuje iloczyn funkcji trygonometrycznych sinus i cosinus sumy bądź różnicy kątów postaci $x\pm \alpha$x\pm \alpha, gdzie $\displaystyle \displaystyle \alpha\in\left\{ \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{6} \right\}$\displaystyle \displaystyle \alpha\in\left\{ \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{6} \right\}. Korzystając z zamieniamy dany iloczyn na funkcję trygonometryczną sumy lub różnicy.

Alternatywnie, korzystając z oraz sprowadzamy równanie do postaci z funkcjami trygonometrycznymi kąta $x$x, po czym zwykle ponownie korzystamy z zamieniając $\cos^2x-\sin^2x$\cos^2x-\sin^2x na $\cos 2x$\cos 2x.

W tym wariancie korzystając z zamieniamy $\sin 4ax$\sin 4ax na $2\sin 2ax\cos 2ax$2\sin 2ax\cos 2ax oraz $\cos^2ax$\cos^2ax na $\cos 2ax$\cos 2ax, po czym grupujemy wyrazy i przedstawiamy równanie w postaci iloczynowej.

Równanie w którym występuje tylko funkcja sinus kąta $x$x w drugiej potędze oraz podwojonego kąta $2x$2x również w drugiej potędze. Korzystając z zamieniamy $\sin2x$\sin2x na iloczyn $2\sin x\cos x$2\sin x\cos x, po czym pozbywamy się cosinusa korzystając z . Następnie, podstawiając $t=\sin^2x$t=\sin^2x, zamieniamy otrzymane równanie dwukwadratowe na równanie kwadratowe.

Alternatywnie, z zamieniamy $\sin^2 2x$\sin^2 2x na $1-\cos ^22x$1-\cos ^22x i z zamieniamy $\sin ^2x$\sin ^2x na wyrażenie z $\cos 2x$\cos 2x. W rezultacie, równanie trygonometryczne zależy już wyłącznie od $\cos 2x$\cos 2x, co zwykle pozwala zapisać je w postaci iloczynowej.

Równanie trygonometryczne, w którym funkcje sinus i cosinus występują w pierwszej potędze, zarówno dla kąta $x$x jak i $2x$2x. Korzystając z redukujemy funkcje trygonometryczne do kąta $x$x, a następnie odpowiednio grupując wyrazy przekształcamy otrzymaną sumę sinusów i cosinusów na iloczyn czynników liniowych.

Analogicznie jak w poprzednim wariancie, korzystając z , zamieniamy $\sin 2x$\sin 2x na $2\sin x \cos x$2\sin x \cos x , po czym odpowiednio grupując wyrazy i wyciągając wspólny czynnik przed nawias, przedstawiamy równanie w postaci iloczynowej.

W tym przykładzie korzystając ze oraz zamieniamy sumę $\sin^4 x+\cos^4x$\sin^4 x+\cos^4x na iloczyn $\sin x\cos x$\sin x\cos x, który następnie, korzystając z , zamieniamy na $\sin 2x$\sin 2x.