Funkcja wykładnicza

Ten typ obejmuje zadania o $f(x)=a^x$f(x)=a^x, gdzie $a>0$a>0 i $a\neq 1$a\neq 1. Korzystamy z :

Wykres przechodzi więc przez punkt $(0,1)$(0,1), leży nad osią $OX$OX, a funkcja nie ma miejsc zerowych. Dla $a>1$a>1 funkcja jest rosnąca, a dla $0<a<1$0<a<1 — malejąca. Zadania z treścią, w których funkcja wykładnicza opisuje zjawisko, zostały zebrane w osobnym typie .

W tym wariancie obliczamy wartość funkcji wykładniczej dla danego argumentu albo sprawdzamy, czy punkt należy do jej wykresu. Argument podstawiamy do wykładnika, a przy wykładniku ujemnym korzystamy z :

Tu $a>0$a>0, a wykładnik $n$n może być także ułamkiem. Zadania na wartości funkcji danych różnymi wzorami zostały zebrane w osobnym typie .

W tym zadaniu sprawdzamy, który punkt należy do wykresu. Przed potęgą stoi znak minus, więc funkcja przyjmuje tylko wartości ujemne — punkty o dodatniej drugiej współrzędnej od razu odrzucamy, a dla pozostałych obliczamy potęgę i zmieniamy znak wyniku.

Tutaj argument jest ujemnym ułamkiem, więc korzystamy też z . Podstawę zapisujemy jako potęgę mniejszej liczby naturalnej, aby po pomnożeniu wykładników otrzymać liczbę całkowitą.

W tym wariancie znamy wartość $b$b funkcji, a szukamy argumentu, czyli rozwiązania równania $a^x=b$a^x=b. Gdy $b$b nie jest potęgą podstawy o wykładniku całkowitym, argument zapisujemy za pomocą :

Tu $b>0$b>0, bo funkcja wykładnicza nie przyjmuje wartości ujemnych ani zera. Zadania, w których rozwiązujemy równania wykładnicze, zostały zebrane w osobnym typie .

W tym wariancie we wzorze $f(x)=a^x$f(x)=a^x nie znamy podstawy $a$a, ale wiemy, że do wykresu należy punkt $(x_0,y_0)$(x_0,y_0). Z równania $a^{x_0}=y_0$a^{x_0}=y_0 wyznaczamy $a$a, pamiętając, że podstawa musi być dodatnia i różna od $1$1. Ten sam sposób, czyli podstawienie współrzędnych punktu do wzoru, stosujemy w zadaniach zebranych w typie .

W tym zadaniu współrzędne punktu odczytujemy z rysunku, a po ich podstawieniu do wzoru otrzymujemy od razu równanie pierwszego stopnia z niewiadomą podstawą.

Tutaj po podstawieniu otrzymujemy równanie kwadratowe z niewiadomą podstawą, więc ujemne rozwiązanie odrzucamy. Potem wyznaczamy zbiór wartości funkcji przesuniętej wzdłuż osi $OY$OY, przesuwając przedział $(0,+\infty)$(0,+\infty) — takie zadania zostały zebrane w osobnym typie .

W tym wariancie korzystamy z kształtu wykresu funkcji wykładniczej: funkcja rośnie lub maleje w całej dziedzinie, przyjmuje tylko wartości dodatnie, a jej wykres przechodzi przez punkt $(0,1)$(0,1).

W tym zadaniu liczymy punkty wspólne wykresów funkcji wykładniczej i liniowej. Jedna z tych funkcji jest rosnąca, a druga malejąca, więc wykresy mają co najwyżej jeden punkt wspólny — wystarczy sprawdzić, czy taki punkt istnieje.