Twierdzenie o metodzie równań równoważnych

Dla dowolnego równania zachodzą następujące własności:

• uproszczenie równania poprzez wykonanie występujących w nim działań oraz redukcji wyrazów podobnych (po dowolnej ze stron) prowadzi do równania równoważnego,

• dodanie (odjęcie) tej samej liczby do (od) obu stron równania prowadzi do równania równoważnego.

  $$a=b\iff a\pm c=b\pm c$$

  a=b\iff a\pm c=b\pm c(0)

• pomnożenie lub podzielenie obu stron równania przez tę samą liczbę różną od zera lub przez to samo wyrażenie (o wartości różnej od $0$0) nie zmieniające dziedziny tego równania prowadzi do równania równoważnego.

  $$\displaystyle a=b\land c\neq0 \Rightarrow a \cdot c=b \cdot c\land \frac{a}{c}= \frac{b}{c}$$

  \displaystyle a=b\land c\neq0 \Rightarrow a \cdot c=b \cdot c\land \frac{a}{c}= \frac{b}{c} (0)

Przy rozwiązywaniu równań pierwiastkowych, pomocne okazują się następujące własności:

• dla dowolnego podzbioru dziedziny równania $L=P$L=P w którym obie strony mają te same znaki, tj. są jednocześnie ujemne bądź dodatnie, równanie ma w tym zbiorze ten sam zbiór rozwiązań co równanie $L^2=P^2$L^2=P^2.

• równanie $L=P$L=P jest sprzeczne w dowolnym podzbiorze dziedziny równania w którym obie strony mają przeciwne znaki.