Warunek wystarczający istnienia ekstremum

Niech funkcja $f$f będzie określona w pewnym otoczeniu punktu $x_0$x_0, ciągła w tym punkcie oraz różniczkowalna w sąsiedztwie $S(x_0)$S(x_0). Wówczas:

• jeżeli $f'(x)>0$f'(x)>0 dla $x\in S_-(x_0)$x\in S_-(x_0) oraz $f'(x)<0$f'(x)<0 dla $x\in S_+(x_0)$x\in S_+(x_0) to funkcja $f$f ma w punkcie $x_0$x_0 maksimum lokalne właściwe.

• jeżeli $f'(x)<0$f'(x)<0 dla $x\in S_-(x_0)$x\in S_-(x_0) oraz $f'(x)>0$f'(x)>0 dla $x\in S_+(x_0)$x\in S_+(x_0) to funkcja $f$f ma w punkcie $x_0$x_0 minimum lokalne właściwe.

• jeżeli $f'(x)>0$f'(x)>0 dla $x\in S(x_0)$x\in S(x_0) albo $f'(x)<0$f'(x)<0 dla $x\in S(x_0)$x\in S(x_0) to funkcje nie ma w punkcie $x_0$x_0 ekstrema lokalnego.