Twierdzenie o funkcjach trygonometrycznych podwojonego kąta

Zachodzą następujące własności funkcji trygonometrycznych podwojonego kąta:

• Dla dowolnego $x\in\mathbb{R}$x\in\mathbb{R} zachodzą następujące równości:

  $$\begin{align*} \sin2x&=2\sin x\cos x\\ \end{align*}$$

  \begin{align*} \sin2x&=2\sin x\cos x\\ \end{align*}

• Dla dowolnego $x\in\mathbb{R}$x\in\mathbb{R}:

  $$\begin{aligned} \cos2x&=\cos^2x - \sin^2x\\ &=2\cos^2x-1\\ &=1-2\sin^2x \end{aligned}$$

  \begin{aligned} \cos2x&=\cos^2x - \sin^2x\\ &=2\cos^2x-1\\ &=1-2\sin^2x \end{aligned}

• Dla dowolnego $\displaystyle x\in\mathbb{R}\setminus\left\{x:x= \frac{k\pi}{4},k\in\mathbb{Z}\setminus\left\{0\right\} \right\}$\displaystyle x\in\mathbb{R}\setminus\left\{x:x= \frac{k\pi}{4},k\in\mathbb{Z}\setminus\left\{0\right\} \right\}:

  $$\tg2x=\frac{2\tg x}{1-\tg^2 x}= \frac{2}{\ctg x-\tg x}$$

  \tg2x=\frac{2\tg x}{1-\tg^2 x}= \frac{2}{\ctg x-\tg x}

• Dla dowolnego $\displaystyle x\in\mathbb{R}\setminus\left\{x:x= \frac{k\pi}{4},k\in\mathbb{Z}\setminus\left\{0\right\} \right\}$\displaystyle x\in\mathbb{R}\setminus\left\{x:x= \frac{k\pi}{4},k\in\mathbb{Z}\setminus\left\{0\right\} \right\}:

  $$\ctg2x=\frac{\ctg x - \tg x}{2}=\frac{\ctg^2x-1}{2\ctg x}$$

  \ctg2x=\frac{\ctg x - \tg x}{2}=\frac{\ctg^2x-1}{2\ctg x}