Twierdzenie o metodzie nierówności równoważnych

Dla dowolnej nierówności zachodzą następujące własności:

• uproszczenie nierówności poprzez wykonanie występujących w niej działań oraz redukcji wyrazów podobnych (po dowolnej ze stron) prowadzi do nierówności równoważnej,

• dodanie (odjęcie) tej samej liczby do (od) obu stron nierówności prowadzi do nierówności równoważnej.

  $$a<b\iff a\pm c<b\pm c$$

  a<b\iff a\pm c<b\pm c(0)

• pomnożenie lub podzielenie obu stron nierówności przez

  • tę samą liczbą dodatnia lub przez to samo wyrażenie niezmieniające dziedziny nierówności i przyjmujące wyłącznie wartości dodatnie dla liczb z dziedziny nierówności prowadzi do nierówności równoważnej

    $$\displaystyle a<b\land c>0\Rightarrow a \cdot c<b \cdot c \land \frac{a}{c} < \frac{b}{c}$$

    \displaystyle a<b\land c>0\Rightarrow a \cdot c<b \cdot c \land \frac{a}{c} < \frac{b}{c} (0)

  • tę samą liczbą ujemną lub przez to samo wyrażenie niezmieniające dziedziny nierówności i przyjmujące wyłącznie wartości ujemne dla liczb z dziedziny nierówności prowadzi do nierówności równoważnej o ile zmienimy zwrot nierówności na przeciwny.

    $$\displaystyle a<b\land c<0\Rightarrow a \cdot c>b \cdot c \land \frac{a}{c} > \frac{b}{c}$$

    \displaystyle a<b\land c<0\Rightarrow a \cdot c>b \cdot c \land \frac{a}{c} > \frac{b}{c}(0)

• jeżeli obie strony nierówności są nieujemne, to podniesienie ich do kwadratu prowadzi do nierówności równoważnej

• jeżeli obie strony nierówności są ujemne, to podniesienie ich do kwadratu oraz zmiana zwrotu nierówności na przeciwny prowadzi do nierówności równoważnej.