Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta

Niech w układzie współrzędnych dany będzie kąt $\alpha$ \alpha którego wierzchołkiem jest początek układ współrzędnych, jedno z ramion (tzw. pierwsze ramię) pokrywa się z dodatnią półosią $OX$ OX, a drugie ramię (tzw. ramie końcowe) leży w dowolnej z ćwiartek układu. Na ramieniu końcowym wybieramy punkt $P=(x,y)$ P=(x,y), różny od początku układu współrzędnych, tj. $P\neq(0,0)$ P\neq(0,0) oraz leżący na ramieniu końcowym kąta $\alpha\in[0^\circ, 360^\circ]$ \alpha\in[0^\circ, 360^\circ]. Wówczas funkcje trygonometryczne kąta $\alpha$ \alpha definiujemy następująco:

\begin{align*} \sin\alpha&=\frac{y}{r}\\ \cos\alpha&=\frac{x}{r}\\ \tg\alpha &=\frac{y}{x}\quad (x\neq 0)\\ \ctg\alpha &= \frac{x}{y}\quad (y\neq 0) \\ \end{align*}

gdzie

r=|OP|=\sqrt{x^2+y^2}

Dodatkowo, dla dowolnego $k\in\mathbb{Z}$ k\in\mathbb{Z}:

\begin{align*} \sin(\alpha+k\cdot 360^\circ)&=\sin\alpha\\ \cos(\alpha + k\cdot 360^\circ)&=\cos\alpha\\ \tg(\alpha+k\cdot 360^\circ)&=\tg\alpha \quad (\alpha\neq90^\circ\land\alpha \neq 270^\circ)\\ \ctg(\alpha + k\cdot 360^\circ)&=\ctg \alpha \quad (\alpha \neq 0^\circ\land \alpha \neq 180^\circ) \end{align*}