Rozkład wielomianu na czynniki polega na zapisie tego wielomianu w postaci iloczynu wielomianów (możliwie najniższego stopnia). Jest to zatem czynność odwrotna do mnożenia wielomianów. W praktyce w tym celu stosuje się różne metody faktoryzacji, takie jak:

Wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias:
Wyłączamy przez nawias zmienną w możliwie jak najwyższej potędze (potencjalnie wraz z liczbą)
Grupowanie wyrazów:
Grupujemy wyrazy wielomianu w taki sposób, aby w każdej grupie dało się wyłączyć wspólny czynnik przed nawias, uzyskując identyczne wyrażenia w nawiasach.
Wzory skróconego mnożenia:
Badamy, czy wyrazy wielomianu tworzą wzór skróconego mnożenia.
Zapisanie trójmianu kwadratowego w postaci iloczynowej:
Jeżeli \Delta trójmianu kwadratowego występującego w wielomianie jest nieujemna, liczymy miejsca zerowe wielomianu i zapisujemy go w jego postaci iloczynowej.
Schemat Hornera:
Próbujemy zgadnąć miejsce zerowe x_0 wielomianu, a następnie dzielimy go przez przez dwumian x-x_0 co pozwala na dalszą faktoryzację wyrażenia.

Docelowo, rozkładamy wielomian na iloczyn czynników nierozkładalnych, czyli:

wyrażeń liniowych, np. x, \left(x-4\right)
wyrażeń kwadratowych z \Delta <0, np. x^2+4,x^2+x+5

Definicja 1

Wielomian rozkładalny

Mówimy, że niezerowy wielomian jest rozkładalny, jeżeli można go przedstawić w postaci iloczynu wielomianów stopnia różnego od zera. W innym wypadku mówimy że wielomian jest nierozkładalny.

Definicja 2

Postać iloczynowa wielomianu

Postacią iloczynową wielomianu W(x)=a_nx^n+\ldots+a_xx+a_0 nazywamy postać

(0)W(x)=a_n(x-x_n)\cdot\ldots\cdot(x-x_2)(x-x_1)

gdzie a_n\neq 0 oraz x_1,x_2,\ldots,x_n to pierwiastki tego wielomianu.

Twierdzenie 1

O rozkładalności wielomianu

Wielomian o stopniu nie mniejszym niż trzy zawsze da się przedstawić jako iloczyn wielomianów, z których każdy ma stopień najwyżej dwa. Taki podział jest unikalny, pomijając kolejność składników oraz stały współczynnik.

Twierdzenie o rozkładalności wielomianu