Twierdzenie 1

Podstawowe własności logarytmów

Niech a,b\in\mathbb{R_+} oraz a\neq 1, p\in\mathbb{R}. Wówczas

\begin{align*} \log_a a&=1\\ \log _a 1 &=0\\ \log _a a^p&=p\\ a^{\log _ab} &= b \end{align*}

Na logarytmach, tak jak na każdych innych liczbach możemy wykonywać działania dodawania, odejmowania, mnożenia czy dzielenia.

Twierdzenie 2

Własności logarytmów

Niech a,b\in\mathbb{R_+}\setminus\{1\}, x,y\in\mathbb{R_+} oraz p\in\mathbb{R}. Wówczas

\begin{align*} \log_a(x\cdot y)&=\log_a x+\log_a y\\ \log_a \frac{x}{y} &= \log_a x - \log_a y\\ \log_a x^p &=p\log _a x\\ \end{align*}

Dodatkowo, dla n\neq 0:

\begin{aligned} \log_{a^n}b&= \frac{1}{n} \cdot \log_ab \\ \log_{a^ \frac{1}{n} }b&= n\cdot \log_ab \\ \log_ab&=\frac{1}{\log_ba} \end{aligned}

Uwaga 1

Uwaga

Zauważ, że na mnożenie i dzielenie logarytmów nie ma magicznych wzorów które ułatwiłyby nam przeprowadzanie na nich obliczeń. Wyjątkiem jest Twierdzenie o zmianie podstawy logarytmu.

Twierdzenie 3

Wzór na zmianę podstawy logarytmu

Jeżeli a,b,c\in\mathbb{R_+} oraz a\neq 1 i c\neq 1 to:

\log_ab= \frac{\log_cb}{\log_ca}

Alternatywnie, jednak dla b\neq 1 i c>0:

\log_ab \cdot \log_bc=\log_ac

W szczególności, zmieniając podstawę logarytmu na b, otrzymujemy:

\log_ab= \frac{\log_bb}{\log_ba} = \frac{1}{\log_ba} .

Uwaga 2

Uwaga

Twierdzenie o zmianie podstawy logarytmu przydaje się gdy chcemy obliczyć wartość logarytmu na kalkulatorze - wówczas zmieniany podstawę na 10.

Przykład 1

Przykłady

Przykłady obliczania logarytmów:

\log_39=2 ponieważ 3^2=9.
\displaystyle\log_{25}5=\frac{1}{2} ponieważ 25^\frac{1}{2}=\sqrt{25}=5.
\log1000=3 ponieważ 10^3=1000.
\displaystyle\log_{4}\frac{1}{64}=-3 ponieważ \displaystyle4^{-3}=\left(\frac{1}{4}\right)^3=\frac{1}{64}.

Uwaga 3

Uwaga

Zwróć uwagę, że poniższe zapisy nie są równoważne i oznaczają odpowiednio kwadrat logarytmu i logarytm z kwadratu.

\log_ab^2\neq \log_a^2b=\left(\log_a b\right)^2

Przykład 2

Przykład

\log_464=\log_44^3=3
\log_5250 + \log_5 \frac{1}{2}= \log_5\left(250 \cdot \frac{1}{2} \right)=\log_5125=3
\log_9 364-\log_94=\log_9\left(364:4\right)=\log_981=2

Logarytm potęgi