Trygonometria

Trygonometria to dział matematyki, który zajmuje się badaniem zależności między kątami a długościami boków w trójkątach, a także funkcjami trygonometrycznymi, które opisują te zależności. Trygonometria ma szerokie zastosowania w geometrii, fizyce, inżynierii, astronomii, grafice komputerowej i wielu innych dziedzinach.

Kluczowe zagadnienia trygonometrii:

• Podstawowe pojęcia:

  • Kąt – figura utworzona przez dwa promienie wychodzące z jednego punktu (wierzchołka).

  • Trójkąt prostokątny – trójkąt, w którym jeden z kątów jest prosty (90°).

  • Funkcje trygonometryczne – funkcje, które opisują zależności między kątami a bokami w trójkącie prostokątnym:

    • Sinus (sin) – stosunek przyprostokątnej naprzeciw kąta do przeciwprostokątnej.

    • Cosinus (cos) – stosunek przyprostokątnej przyległej do kąta do przeciwprostokątnej.

    • Tangens (tg) – stosunek przyprostokątnej naprzeciw kąta do przyprostokątnej przyległej.

    • Cotangens (ctg) – odwrotność tangensa.

• Jednostki miary kątów:

  • Stopnie – kąt pełny to $360^\circ$360^\circ.

  • Radiany – kąt pełny to $2\pi$2\pi radianów. Przeliczanie: $\displaystyle 1^\circ= \frac{\pi}{180}$\displaystyle 1^\circ= \frac{\pi}{180} rad.

• Tożsamości trygonometryczne:

  • Podstawowe tożsamości:

    $$\begin{aligned} \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\\ \tg\alpha= \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \\ \ctg\alpha= \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} \\ \end{aligned}$$

    \begin{aligned} \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\\ \tg\alpha= \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \\ \ctg\alpha= \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} \\ \end{aligned}(0)

  • Wzory redukcyjne – pozwalają wyrazić funkcje trygonometryczne dowolnego kąta za pomocą kątów z przedziału $[0,90^{\circ}]$[0,90^{\circ}].

  • Wzory na sumę i różnicę kątów:

    $$\begin{aligned} \sin(\alpha\pm \beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta\\ \cos(\alpha\pm \beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta \end{aligned}$$

    \begin{aligned} \sin(\alpha\pm \beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta\\ \cos(\alpha\pm \beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta \end{aligned}(0)

• Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta:

  • Funkcje trygonometryczne można rozszerzyć na dowolne kąty (nie tylko ostre) za pomocą koła jednostkowego (okręgu o promieniu 1).

• Wykresy funkcji trygonometrycznych:

  • Sinusoida – wykres funkcji $y=\sin x$y=\sin x, okres $2\pi$2\pi.

  • Cosinusoida – wykres funkcji $y=\cos x$y=\cos x, okres $2\pi$2\pi.

  • Tangensoida – wykres funkcji $y=\tg x$y=\tg x, okres $\pi$\pi.

• Równania i nierówności trygonometryczne:

  • Rozwiązywanie równań typu $\sin x=a,\cos x=b, \tg x=c$\sin x=a,\cos x=b, \tg x=c.