Definicja 1

Wyrażenie wymierne

Wyrażeniem wymiernym nazywamy ułamek którego licznikiem oraz mianownikiem są wielomiany.

Definicja 2

Dziedzina wyrażenia wymiernego

Dziedziną wyrażenia wymiernego nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, dla których mianownik tego wyrażenia się nie zeruje.

Aby zatem wyznaczyć dziedzinę wyrażenia wymiernego, należy znaleźć wszystkie miejsca zerowe mianownika tego wyrażenia i wykluczyć je z dziedziny.

Dowolne wyrażenie wymierne możemy skrócić dzieląc licznik i mianownik przez to samo wyrażenie, różne od zera. (lub to założyć).

Dodawanie i odejmowanie wyrażeń wymiernych przebiega analogicznie do działań na ułamkach - sprowadzamy wyrażenia do wspólnego mianownika i dodajemy/odejmujemy liczniki. Mnożenie wyrażeń wymiernych przebiega analogicznie do mnożenia ułamków - mnożymy licznik przez licznik i mianownik przez mianownik. Dzielenie również - mnożymy przez odwrotność dzielnika.

Definicja 3

Równanie wymierne

Równaniem wymiernym z niewiadomą x nazywamy równanie postaci:

(0)\displaystyle \frac{W(x)}{P(x)}=0,

gdzie W(x) i P(x) to wielomiany oraz P(x)\neq 0.

Ułamek algebraiczny \displaystyle \frac{W(x)}{P(x)} przyjmuje wartość 0 wtedy i tylko wtedy, gdy licznik tego ułamka się a wielomian występujący w mianowniku przyjmuje wartość różną od 0:

(0) \frac{W(x)}{P(x)} =0 \iff (W\left(x\right)=0 \land P(x)\neq 0)(0)\displaystyle

Równanie wymierne rozwiązujemy następująco:

wyznaczamy dziedzinę równania, tj. liczymy miejsca zerowe wielomianu P(x).
liczymy miejsca zerowe licznika, czyli wielomianu W(x)
rozwiązaniem równania są te miejsca zerowe W(x) które należą do dziedziny równania.

Alternatywnie, jeżeli po prawej stronie równania występuje wyrażenie niezerowe:

wyznaczamy dziedzinę równania, tj. liczymy miejsca zerowe wielomianów występujących po obu stronach równania.
mnożymy równanie stronami przez wspólny mianownik,
rozwiązujemy otrzymane w ten sposób równanie wielomianowe uwzględniając wyznaczoną dziedzinę

Twierdzenie 1

O rozwiązaniach równania wymiernego

Rozwiązaniami równania wymiernego \displaystyle \frac{W(x)}{P(x)}=0 są te miejsca zerowe wielomianu W(x) (licznika), które nie są miejscami zerowymi wielomianu P(x) (mianownika).

Formalnie:

(0) \frac{W(x)}{P(x)} =0 \iff (W\left(x\right)=0 \land P(x)\neq 0)

Upraszczanie wyrażeń wymiernych, zwane skracaniem, pozwala na łatwiejsze rozwiązywanie równań, redukcję skomplikowanych wyrażeń oraz głębsze zrozumienie zależności między zmiennymi.

Skracanie wyrażeń wymiernych polega na usuwaniu wspólnych czynników z licznika i mianownika, co nie tylko upraszcza zapis, ale także minimalizuje ryzyko błędów w dalszych obliczeniach. Należy jednak pamiętać, aby unikać typowych pułapek, takich jak dzielenie przez zero czy pomijanie wspólnych założeń.

Wyrażenia wymierne skracamy analogicznie do ułamków, czyli zarówno licznik jak i mianownik dzielimy przez to samo wyrażenie (oczywiście zakładając że nie jest zerowe).

Dodawanie oraz odejmowanie wyrażeń wymiernych również odbywa się analogicznie jak w przypadku ułamków - oba wyrażenia musimy najpierw sprowadzić do wspólnego mianownika, a następnie zsumować otrzymane liczniki.

Twierdzenie o rozwiązaniach równania wymiernego