Definicja 1

Prawdopodobieństwo warunkowe

Niech A,B\subset\Omega, gdzie \Omega - przestrzeń zdarzeń elementarnych oraz P(B)>0. Prawdopodobieństwem warunkowym zdarzenia A pod warunkiem, że zaszło zdarzenie B, nazywamy liczbę daną wzorem:

P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}

Prawdopodobieństwo warunkowe P(A|B) jest z reguły różne od prawdopodobieństwa P(A), ponieważ wiedza o zajściu zdarzenia B daje nam dodatkowe informacje mogące mieć wpływ na prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A.

Wyróżniamy dwa sposoby obliczania prawdopodobieństwa warunkowego P(A|B):

Zawężenie przestrzeni zdarzeń elementarnych - ograniczamy przestrzeń zdarzeń elementarnych do tych sprzyjających zdarzeniu B i liczymy prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A ze wzoru na prawdopodobieństwo klasyczne, oczywiście ograniczając się do zawężonej przestrzeni.
Zachowanie pełnej przestrzeni zdarzeń elementarnych – nie zmieniamy zakresu analizowanych zdarzeń, lecz korzystamy bezpośrednio ze wzoru na prawdopodobieństwo warunkowe.

Twierdzenie 1

O prawdopodobieństwie warunkowym

Niech \Omega będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych z określonym na niej prawdopodobieństwem P oraz niech B\subset \Omega taka, że P(B)>0. Wówczas funkcja, która dowolnemu zdarzeniu A\subset\Omega przyporządkowuje liczbę P(A|B)= \frac{P(A\cap B)}{P(B)} spełnia aksjomaty prawdopodobieństwa.

Twierdzenie 2

O prawdopodobieństwie całkowitym

Niech \Omega będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych z określonym na niej prawdopodobieństwem P. Wówczas, jeżeli zdarzenia B_1,B_2,\ldots,B_n\subset\Omega spełniają następujące warunki:

B_1\cup B_2\cup\ldots\cup B_n=\Omega,
Dla każdego B_i, P(B_i)>0,
Dla dowolnych i,j\in\mathbb{N}, i\neq j, B_i\cap B_j=\emptyset,

to dla dowolnego A\subset \Omega zachodzi:

P(A)=\sum_{i=1}^nP(A|B_i)P(B_i)

Twierdzenie 3

Wzór Bayesa

Niech dana będzie przestrzeń zdarzeń elementarnych \Omega z określonym na niej prawdopodobieństwem P. Jeżeli A,B\subset \Omega oraz P(B)>0, to

P\left(A|B\right)= \frac{P\left(B|A\right) \cdot P(A)}{P(B)}

Twierdzenie 4

Wzór Bayesa (wiele zdarzeń)

Niech dana będzie przestrzeń zdarzeń elementarnych \Omega z określonym na niej prawdopodobieństwem P. Jeżeli zdarzenia B_1,B_2,\ldots,B_n\subset\Omega spełniają następujące warunki:

B_1\cup B_2\cup\ldots\cup B_n=\Omega,
Dla każdego B_i, P(B_i)>0,
Dla dowolnych i,j\in\mathbb{N}, i\neq j, B_i\cap B_j=\emptyset,

to dla dowolnego zdarzenia A\subset\Omega o dodatnim prawdopodobieństwie zachodzi wzór:

P(B_k|A)=\frac{P(A|B_k)P(B_k)}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}P(A|B_i)P(B_i)}=\frac{P(A|B_k)P(B_k)}{P(A)}

Twierdzenie 5

Własności prawdopodobieństwa warunkowego

Niech \Omega będzie dowolną przestrzenią zdarzeń elementarnych oraz A,B,C\subset\Omega i P(C)>0. Wówczas:

P(\emptyset|C)=0,
P(\Omega|C)=1,
A\subset B\Rightarrow P(A|C)\le P(B|C),
P(A|C)=1-P(A'|C) oraz P(A'|C)=1-P(A|C),
A\cap B=\emptyset \Rightarrow P(A\cup B)=P(A|C)+P(B|C)
P(A\cup B | C)=P(A|C)+P(B|C)-P(A\cap B|C).

Wzór Bayesa (pojedyncze zdarzenie)