Twierdzenie o podstawowych prawach rachunku zdań

Nazwa

Wzór

Prawo tożsamości (każde zdanie implikuje siebie)

$p\Rightarrow p$p\Rightarrow p

Prawo podwójnego przeczenia (każde zdanie jest równoważne podwójnej negacji tego zdania)

$p\iff \sim(\sim p)$p\iff \sim(\sim p)

Prawo idempotentności koniunkcji

$p\iff (p\land p)$p\iff (p\land p)

Prawo idempotentności alternatywy

$p\iff (p\vee p)$p\iff (p\vee p)

Prawo wyłączonego środka (spośród zdania i jego zaprzeczenia jedno jest zawsze prawdziwe)

$p\ \vee \sim p$p\ \vee \sim p

Prawo niesprzeczności (zdanie i jego zaprzeczenie nie mogą być jednocześnie prawdziwe)

$\sim(p\ \land \sim p)$\sim(p\ \land \sim p)

Prawo przemienności koniunkcji

$(p\land q)\iff (q\land p)$(p\land q)\iff (q\land p)

Prawo przemienności alternatywy

$(p\vee q)\iff(q\vee p)$(p\vee q)\iff(q\vee p)

Pierwsze prawo De Morgana (prawo zaprzeczenia koniunkcji)

$\sim(p\land q)\iff(\sim p \lor\sim q)$\sim(p\land q)\iff(\sim p \lor\sim q)

Drugie prawo De Morgana (prawo zaprzeczenia alternatywy)

$\sim(p\lor q)\iff (\sim p \land \sim q)$\sim(p\lor q)\iff (\sim p \land \sim q)

Prawo transpozycji (jeżeli z jednego zdania wynika drugie, to z zaprzeczenia drugiego wynika zaprzeczenie pierwszego)

$(p\Rightarrow q)\Rightarrow(\sim q \Rightarrow\sim p)$(p\Rightarrow q)\Rightarrow(\sim q \Rightarrow\sim p)

Prawo łączności koniunkcji

$(p\land q)\land r\Leftrightarrow p\land (q\land r)$(p\land q)\land r\Leftrightarrow p\land (q\land r)

Prawo łączności alternatywy

$(p\lor q)\lor r\Leftrightarrow p\lor (q\lor r)$(p\lor q)\lor r\Leftrightarrow p\lor (q\lor r)

Prawo rozdzielności koniunkcji względem alternatywy

$p\land (q\lor r)\Leftrightarrow (p\land q)\lor (p\land r)$p\land (q\lor r)\Leftrightarrow (p\land q)\lor (p\land r)

Prawo rozdzielności alternatywy względem koniunkcji

$p\lor (q\land r)\Leftrightarrow (p\lor q)\land (p\lor r)$p\lor (q\land r)\Leftrightarrow (p\lor q)\land (p\lor r)

Prawo przechodniości implikacji (jeżeli z jednego zdania wynika drugie i z drugiego trzecie, to z pierwszego wynika trzecie)

$(p\Rightarrow q)\land (q\Rightarrow r)\Rightarrow (p\Rightarrow r)$(p\Rightarrow q)\land (q\Rightarrow r)\Rightarrow (p\Rightarrow r)

Prawo zaprzeczenia implikacji

$\sim(p\Rightarrow q)\iff (p\land \sim q)$\sim(p\Rightarrow q)\iff (p\land \sim q)

Prawo równoważności implikacji prostej i przeciwstawnej

$p\Rightarrow q\iff (\sim q\Rightarrow \sim p)$p\Rightarrow q\iff (\sim q\Rightarrow \sim p)

Prawa De Morgana dla zdań z kwantyfikatorem ogólnym

$\displaystyle \sim\left(\underset{x}{\forall}\ p(x)\right)\iff \underset{x}{\exists} \ \sim p(x)$\displaystyle \sim\left(\underset{x}{\forall}\ p(x)\right)\iff \underset{x}{\exists} \ \sim p(x)

Prawa De Morgana dla zdań z kwantyfikatorem szczegółowym

$\displaystyle \sim\left(\underset{x}{\exists}\ p(x)\right)\iff \underset{x}{\forall} \ \sim p(x)$\displaystyle \sim\left(\underset{x}{\exists}\ p(x)\right)\iff \underset{x}{\forall} \ \sim p(x)