Definicje funkcji trygonometrycznych możemy rozszerzyć dla dowolnego kąta.

Definicja 1

Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta

Niech w układzie współrzędnych dany będzie kąt \alpha którego wierzchołkiem jest początek układ współrzędnych, jedno z ramion (tzw. pierwsze ramię) pokrywa się z dodatnią półosią OX, a drugie ramię (tzw. ramie końcowe) leży w dowolnej z ćwiartek układu. Na ramieniu końcowym wybieramy punkt P=(x,y), różny od początku układu współrzędnych, tj. P\neq(0,0) oraz leżący na ramieniu końcowym kąta \alpha\in[0^\circ, 360^\circ]. Wówczas funkcje trygonometryczne kąta \alpha definiujemy następująco:

\begin{align*} \sin\alpha&=\frac{y}{r}\\ \cos\alpha&=\frac{x}{r}\\ \tg\alpha &=\frac{y}{x}\quad (x\neq 0)\\ \ctg\alpha &= \frac{x}{y}\quad (y\neq 0) \\ \end{align*}

gdzie

r=|OP|=\sqrt{x^2+y^2}

Dodatkowo, dla dowolnego k\in\mathbb{Z}:

\begin{align*} \sin(\alpha+k\cdot 360^\circ)&=\sin\alpha\\ \cos(\alpha + k\cdot 360^\circ)&=\cos\alpha\\ \tg(\alpha+k\cdot 360^\circ)&=\tg\alpha \quad (\alpha\neq90^\circ\land\alpha \neq 270^\circ)\\ \ctg(\alpha + k\cdot 360^\circ)&=\ctg \alpha \quad (\alpha \neq 0^\circ\land \alpha \neq 180^\circ) \end{align*}

Uwaga 1

Uwaga

Zauważ, że wprost z powyższej definicji wynika, że:

tangens nie istnieje dla kątów 90^\circ i 270^\circ .
cotangens nie istnieje dla kątów 0^\circ i 180^\circ

natomiast sinus i cosinus istnieją dla dowolnego kąta.

Uwaga 2

Uwaga

Dla kątów ostrych \alpha\in(0^\circ ,90^\circ ) powyższa definicja jest równoważna definicji funkcji trygonometrycznych dla kątów ostrych.

Uwaga 3

Uwaga

Wartości funkcji trygonometrycznych nie zależą od wyboru punktu P na ramieniu końcowym kąta.

Uwaga 4

Uwaga

Tangens i cotangens mogą przyjmować dowolne wartości rzeczywiste, natomiast wartości sinusa i cosinusa zawsze mieszczą się w przedziale [-1,1].

Twierdzenie 1

Jedynka trygonometryczna (dowolny kąt)

Dla dowolnego \alpha\in[0^\circ ,360^\circ ] zachodzi równość:

\begin{aligned} \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1 \end{aligned}

Twierdzenie 2

Wzór na tangens

Dla dowolnego \alpha\in[0^\circ ,360^\circ ], \alpha\neq 90^\circ ,\alpha\neq270^\circ zachodzi równość:

\displaystyle \tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}

Twierdzenie 3

Podstawowe tożsamości trygonometryczne (dowolny kąt)

Zachodzą następujące zależności pomiędzy wartościami funkcji trygonometrycznych:

Dla dowolnego \alpha\in[0^\circ ,360^\circ ] (jedynka trygonometryczna)
\begin{aligned} \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1 \end{aligned}
Dla dowolnego \alpha\in[0^\circ ,360^\circ ], \alpha\neq 90^\circ ,\alpha\neq270^\circ :
\displaystyle \tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}
Dla dowolnego \alpha\in[0^\circ ,360^\circ ], \alpha\neq180^\circ :
\displaystyle \ctg\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}
Dla dowolnego \alpha\in[0^\circ ,360^\circ ], \alpha\neq 90^\circ ,\alpha\neq180^\circ,\alpha\neq270^\circ :
\tg\alpha \cdot \ctg\alpha=1

Twierdzenie 4

O znaku funkcji trygonometrycznych w układzie współrzędnych

Rozważmy funkcje trygonometryczne \sin,\cos,\tg i \ctg w układzie współrzędnych. Wówczas:

w pierwszej ćwiartce wszystkie funkcje są dodatnie
w drugiej ćwiartce dodatni jest tylko sinus
w trzeciej ćwiartce dodatnie są tangens i cotangens
w czwartej ćwiartce dodatni jest tylko cosinus

Uwaga 5

Znak funkcji trygonometrycznych

Zapamiętanie znaku funkcji trygonometrycznych w poszczególnych ćwiartkach układu współrzędnych ułatwi nam następująca rymowanka:

W pierwszej ćwiartce same plusy,
w drugiej tylko sinus,
w trzeciej tangens i cotangens,
w czwartej cosinus.

Wzór na tangens (dowolny kąt)