Ile należy dodać do liczby 15 żeby otrzymać 23 ? Odpowiedź jest prosta - 8. Na to proste pytanie mogliśmy odpowiedzieć wykonując proste rachunki pamięciowe. Do momentu jego ukończenia, liczba 8 była dla nas niewiadomą - musieliśmy ją policzyć. W przypadku bardziej skomplikowanych zadań których nie możemy policzyć w pamięci, szukaną liczbę oznaczamy przez niewiadomą i układamy równanie:

x\ \text{- szukana liczba}\Rightarrow 15+x=23\Rightarrow x=8

Definicja 1

Równanie

Równaniem nazywamy dwa wyrażenia algebraiczne połączone znakiem równości. Równanie składa się ze swojej lewej oraz prawej strony.

Definicja 2

Dziedzina równania

Dziedziną równania nazywamy zbiór liczb dla których wyrażenia algebraiczne je tworzące mają sens liczbowy.

Równania mogą zawierać liczby, zmienne oraz działania algebraiczne, a ich rozwiązanie polega na znalezieniu wszystkich wartości zmiennych spełniających tę równość, czyli takich wartości po których wstawieniu w miejsce zmiennych (niewiadomych) lewa strona równania jest równa prawej. Równania mogą mieć jedno lub więcej rozwiązań lub nie mieć ich wcale, a w zależności od stopnia i liczby niewiadomych, dzielimy je na różne typy, takie jak równania liniowe, kwadratowe czy wielomianowe.

Definicja 3

Pierwiastek (rozwiązanie) równania

Rozwiązaniem (pierwiastkiem) równania nazywamy liczbę (a w przypadku równań z większą liczbą niewiadomych - sekwencję liczb) która należy do dziedziny równania i po której wstawieniu w miejsce niewiadomych, lewa strona równania jest równa prawej stronie.

Definicja 4

Równania równoważne

Mówimy że dwa równania o tej samej dziedzinie są równoważne, jeżeli posiadają ten sam zbiór rozwiązań w tej dziedzinie.

Definicja 5

Równanie oznaczone

Równaniem oznaczonym nazywamy równanie które ma skończoną liczbę rozwiązań.

Definicja 6

Równanie nieoznaczone

Równaniem nieoznaczonym nazywamy równanie które ma nieskończoną liczbę rozwiązań.

Definicja 7

Równanie tożsamościowe

Równaniem tożsamościowym nazywamy równanie które jest spełnione przez każdą liczbę należącą do dziedziny tego równania.

Uwaga 1

Równanie nieoznaczone, a tożsamościowe

Z reguły dziedzina równania jest zbiorem liczb rzeczywistych bądź jego podzbiorem, czyli ma nieskończenie wiele elementów. W takim wypadku równanie tożsamościowe jest jednocześnie nieoznaczone.

Definicja 8

Równanie sprzeczne

Równaniem sprzecznym nazywamy równanie które nie ma rozwiązań, tj. nie spełnia go żadna liczba należąca do jego dziedziny.

Uwaga 2

Równanie z parametrem

W zadaniach często mamy do czynienia z równaniami z parametrem. Należy pamiętać że parametr to nie zmienna! Zmienna równania to niewiadoma - to względem niej rozwiązujemy równanie. Parametr z kolei traktujemy jako liczbę i często szukamy takich wartości parametru dla których zachodzi pewna własność.

Pierwiastek równania