Twierdzenie o nierówności z wartością bezwzględną

Dla dowolnego $c\in\mathbb{R_+}$ c\in\mathbb{R_+} oraz dowolnego wyrażenia algebraicznego $w$ w zachodzą następujące równoważności:

\begin{aligned} \displaystyle |w|<c &\iff (w<-c\land w>c) \\ &\iff -c<w<c\\ &\iff w\in (-c,c) \end{aligned}

(0)

\begin{aligned} \displaystyle |w|\le c &\iff (w\le -c\land w\ge c) \\ &\iff -c\le w\le c\\ &\iff w\in [-c,c] \end{aligned}

(0)

\begin{aligned} \displaystyle |w|> c &\iff ( w> c \lor w< -c) \\ &\iff w\in (-\infty, -c)\cup (c,+\infty) \end{aligned}

(0)

\begin{aligned} \displaystyle |w|\ge c &\iff ( w\ge c \lor w\le -c) \\ &\iff w\in (-\infty, -c]\cup [c,+\infty) \end{aligned}

(0)