Wyróżniamy kilka możliwych wzajemnych położeń dwóch okręgów.

Definicja 1

Okręgi rozłączne

Mówimy że dwa okręgi są rozłączne jeżeli nie mają punktów wspólnych, przy czym jeśli jeden z okręgów zawiera się w kole wyznaczonym przez drugi z tych okręgów to mówimy że okręgi są rozłączne wewnętrznie, a w przeciwnym wypadku że są rozłączne zewnętrznie.

Twierdzenie 1

O okręgach rozłącznych

Niech dane będą dwa okręgi o(O_r,r) oraz o(O_R,R). Wówczas:

okręgi te są rozłączne wewnętrznie wtedy i tylko wtedy, gdy |O_rO_R|<|R-r|
okręgi te są rozłączne zewnętrznie wtedy i tylko wtedy, gdy |O_rO_R|>r+R.

Definicja 2

Okręgi styczne

Mówimy, że dwa okręgi styczne, jeżeli mają dokładnie jeden punkt wspólny, zwany punktem styczności. Jeżeli jeden z okręgów zawiera się w kole wyznaczonym przez drugi z tych okręgów to mówimy że okręgi są styczne wewnętrznie, a w przeciwnym wypadku, że są styczne zewnętrznie.

Twierdzenie 2

O okręgach stycznych

Niech dane będą dwa okręgi o(O_r,r) oraz o(O_R,R). Wówczas:

okręgi te są styczne wewnętrznie wtedy i tylko wtedy, gdy |O_rO_R|=|R-r|

okręgi te są styczne wewnętrznie wtedy i tylko wtedy, gdy |O_rO_R|=r+R.

Definicja 3

Okręgi przecinające się

Jeżeli okręgi mają dokładnie dwa punkty wspólne, to mówimy że są to okręgi przecinające się.

Twierdzenie 3

O okręgach przecinających się

Dwa okręgi o(O_r,r) oraz o(O_R,R) przecinają się wtedy i tylko wtedy, gdy |R-r|<|O_rO_R|<r+R.

Definicja 4

Okręgi współśrodkowe

Jeżeli O_r=O_R to mówimy że okręgi są współśrodkowe.

Definicja 5

Okręgi pokrywające się

Okręgi pokrywające się to okręgi współśrodkowe w których r=R.

Twierdzenie 4

O prostej przechodzącej przez środki okręgów stycznych

Niech dane będą dwa okręgi styczne o(O_r,r) oraz o(O_R,R). Wówczas prosta przechodząca przez środki tych okręgów przechodzi również przez ich punkt styczności.

W zależności od położenia dwóch okręgów względem siebie, możemy poprowadzić różną liczbę ich wspólnych stycznych:

okręgi są rozłączne wewnętrznie - wówczas styczna mniejszego okręgu jest sieczną większego okręgu, a stąd wniosek że okręgi nie mają wspólnych stycznych.
okręgi są styczne wewnętrznie - istnieje dokładnie jedna wspólna styczna do obu okręgów
okręgi przecinające się - dwie wspólne styczne
okręgi styczne zewnętrznie - trzy wspólne styczne - dwie zewnętrzne i jedna wewnętrzna
okręgi rozłączne zewnętrznie - cztery wspólne styczne - dwie zewnętrzne i dwie wewnętrzne.

Twierdzenie o prostej przechodzącej przez środki okręgów stycznych