Twierdzenie o polu trójkąta

Pole trójkąta jest równe połowie iloczynu długości boku $a$a (odp. $b$b, $c$c) oraz wysokości $h_a$h_a (odp. $h_b,h_c$h_b,h_c) opuszczonej na ten bok:

Dodatkowo:

• Pole trójkąta jest równe połowie iloczynu długości dwóch sąsiednich boków $a$a i $b$b oraz sinusa kąta $\gamma$\gamma między nimi:

  $$P=\frac{1}{2}ab\sin\gamma,$$

  P=\frac{1}{2}ab\sin\gamma,

  gdzie $\gamma$\gamma to miara kąta pomiędzy bokami o długości $a$a i $b$b

• Pole trójkąta można wyrazić za pomocą wzoru Herona:

  $$P=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},$$

  P=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},

  gdzie $p$p jest połową obwodu tego trójkąta:

  $$p=\frac{a+b+c}{2}$$

  p=\frac{a+b+c}{2}

• Pole trójkąta o bokach długości $a,b,c$a,b,c i promieniu $r$r okręgu wpisanego w ten trójkąt wynosi:

  $$P= \frac{a+b+c}{2} \cdot r$$

  P= \frac{a+b+c}{2} \cdot r

• Pole trójkąta o kątach $\alpha,\beta,\gamma$\alpha,\beta,\gamma i promieniu $R$R okręgu opisanego na tym trójkącie wynosi:

  $$P=2R^{2}\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma$$

  P=2R^{2}\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma

• Pole trójkąta o bokach długości $a,b,c$a,b,c i promieniu $R$R okręgu opisanego na tym trójkącie wynosi:

  $$P= \frac{abc}{4R}$$

  P= \frac{abc}{4R}