Matura (czerwiec 2018, poziom podstawowy, dodatkowy, (nowa formuła))

Dla oraz wartość wyrażenia jest równa

Dane są liczby: , , . Liczby te spełniają warunek

Wskaż liczbę spełniającą nierówność .

Po dwukrotnej obniżce, za każdym razem o w stosunku do ceny obowiązującej w chwili obniżki, komputer kosztuje złote. Stąd wynika, że przed tymi obniżkami ten komputer kosztował

Na rysunku przedstawiony jest przedział , gdzie jest liczbą całkowitą. Suma wszystkich liczb całkowitych należących do tego przedziału jest równa .

Stąd wynika, że

Równanie

Liczbę można zapisać w postaci nieskończonego ułamka dziesiętnego okresowego. Dwudziestą cyfrą po przecinku jego rozwinięcia jest

Liczba jest równa

Funkcja jest określona wzorem dla każdej liczby rzeczywistej . Wartość funkcji dla argumentu jest równa

Największą wartością funkcji w przedziale jest

Funkcja liniowa nie ma miejsc zerowych dla

Na jednym z rysunków przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej określonej wzorem . Wskaż ten rysunek.

Wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego określonego dla są dodatnie i . Stąd wynika, że iloraz tego ciągu jest równy

Dany jest ciąg arytmetyczny określony wzorem dla każdej liczby całkowitej . Różnica tego ciągu jest równa

Liczba jest

Odcinek jest średnicą okręgu o środku i promieniu . Na tym okręgu wybrano punkt , taki, że (zobacz rysunek).

Pole trójkąta jest równe

Okrąg o środku i promieniu oraz okrąg o środku i promieniu są styczne zewnętrznie. Wtedy

Długości boków trapezu równoramiennego są równe . Wysokość tego trapezu jest równa

Miary kątów pewnego czworokąta pozostają w stosunku . Wynika stąd, że najmniejszy kąt tego czworokąta ma miarę

Dany jest walec, w którym wysokość jest równa promieniowi podstawy. Objętość tego walca jest równa . Wynika stąd, że promień podstawy tego walca jest równy

Stożek o promieniu podstawy i kula o tym samym promieniu mają równe objętości. Tangens kąta między tworzącą i płaszczyzną podstawy tego stożka jest równy

Wśród osób przeprowadzono ankietę, w której zadano pytanie o liczbę książek przeczytanych w ostatnim roku. Wyniki ankiety zebrano w poniższej tabeli.

Średnia liczba przeczytanych książek przez jedną ankietowaną osobę jest równa

Gdy dodamy liczbę wszystkich krawędzi pewnego graniastosłupa do liczby wszystkich jego wierzchołków, to otrzymamy w wyniku . Liczba wszystkich krawędzi tego graniastosłupa jest równa

Liczba wszystkich dodatnich liczb czterocyfrowych parzystych, w których zapisie nie występują cyfry i , jest równa

W pudełku znajdują się dwie kule: czarna i biała. Czterokrotnie losujemy ze zwracaniem jedną kulę z tego pudełka. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że dokładnie trzy razy w czterech losowaniach wyciągniemy kulę koloru białego, jest równe

Rozwiąż nierówność .

Wykresem funkcji kwadratowej określonej wzorem jest parabola, na której leży punkt . Osią symetrii tej paraboli jest prosta o równaniu . Oblicz wartości współczynników i .

Wykaż, że reszta z dzielenia sumy kwadratów czterech kolejnych liczb naturalnych przez jest równa .

Dany jest prostokąt . Na boku tego prostokąta wybrano taki punkt , że , a na boku wybrano taki punkt , że . Niech oznacza punkt przecięcia prostej z prostą (zobacz rysunek). Wykaż, że trójkąty i są przystające.

Kąt jest ostry i . Oblicz wartość wyrażenia .

Rzucamy cztery razy symetryczną monetą. Po przeprowadzonym doświadczeniu zapisujemy liczbę uzyskanych orłów (od do ) i liczbę uzyskanych reszek (również od do ). Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że w tych czterech rzutach liczba uzyskanych orłów będzie większa niż liczba uzyskanych reszek.

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny o wysokości . Cosinus kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy tego ostrosłupa jest równy . Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.

W ciągu arytmetycznym , określonym dla liczb naturalnych , wyraz szósty jest liczbą dwa razy większą od wyrazu piątego, a suma dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa . Oblicz wyraz pierwszy oraz różnicę tego ciągu.

Punkty i są wierzchołkami trójkąta równoramiennego , w którym . Podstawa tego trójkąta zawiera się w prostej o równaniu . Oblicz współrzędne wierzchołka tego trójkąta.