Matura (maj 2002, poziom podstawowy)

Dana jest prosta o równaniu oraz punkt . Wykres funkcji liniowej jest prostopadły do prostej , punkt należy do wykresu funkcji .

Wyznacz:

1. wzór funkcji

2. miejsce zerowe funkcji .

Dany jest wektor oraz punkt .

Oblicz:

1. współrzędne punktu ,

2. współrzędne i długość wektora

W klasie liczącej uczniów, dziewięciu obejrzało film pt. “Nasz XXI wiek”. Wychowawca klasy otrzymał bilety i zamierza wylosować uczniów, których zaprosi na projekcję tego filmu. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że wśród czterech wylosowanych z tej klasy uczniów nie ma ucznia, który już ten film oglądał.

W pewnej szkole średniej po pierwszym półroczu przeprowadzono test z matematyki. Tabelka przedstawia zestawienie wyników testu:

1. Sporządź diagram słupkowy przedstawiający zestawienie wyników testu.

2. Oblicz średnią arytmetyczną uzyskanych ocen.

3. Oblicz, ilu uczniów uzyskało ocenę wyższą od średniej arytmetycznej ocen.

Ania przeczytała książkę science-fiction w ciągu dni, przy czym każdego dnia czytała o taką samą liczbę stron więcej, niż w dniu poprzednim. Ile stron miała ta książka, jeżeli wiadomo, że w trzecim dniu Ania przeczytała stron a w ostatnim ?

Jeżeli i są miejscami zerowymi wielomianu , gdzie oraz , to współczynnik można wyznaczyć postępując w następujący sposób:

Wielomian zapisujemy w postaci iloczynowej: i wykorzystując warunek otrzymujemy równanie: , stąd .

Postępując analogicznie, wyznacz współczynnik wielomianu , wiedząc, że jego miejsca zerowe to oraz .

Planując czterotygodniowe wakacje, rodzina Kowalskich przeznaczyła pewną kwotę na wyżywienie. W pierwszym tygodniu wydano zaplanowanej kwoty, w drugim tygodniu o złotych mniej niż w pierwszym, w trzecim połowę reszty pieniędzy. Na czwarty tydzień zostało złotych. Oblicz kwotę, którą rodzina Kowalskich przeznaczyła na wyżywienie.

Funkcja kwadratowa , gdzie posiada dwa różne miejsca zerowe, których iloczyn jest równy . Wiedząc, że funkcja ta przyjmuje najmniejszą wartość równą , wyznacz:

1. współczynniki i ,

2. miejsca zerowe funkcji .

Zaplanowano zalesić ugór w kształcie trójkąta równoramiennego, którego długość najdłuższego boku, na planie w skali , jest równa i jeden z kątów ma miarę . W szkółce leśnej zamówiono sadzonki, w ilości pozwalającej obsadzić obszar wielkości arów. Oblicz, czy zamówiona ilość sadzonek jest wystarczająca do zalesienia ugoru.

Dane są dwie bryły: stożek, w którym długość promienia podstawy jest równa i wysokość ma długość oraz ostrosłup prawidłowy czworokątny, w którym krawędź podstawy ma długość . Wiedząc, że objętości tych brył są równe, wyznacz kąt nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do jego podstawy.