Matura (maj 2019, poziom rozszerzony, (stara formuła))

Funkcja jest określona wzorem , dla każdej liczby rzeczywistej . Wyznacz zbiór wartości tej funkcji.

Udowodnij, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych i , takich że , i dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej prawdziwa jest nierówność .

Dany jest trójkąt równoramienny , w którym . Na ramieniu tego trójkąta wybrano punkt , a na ramieniu wybrano punkt , w taki sposób, że . Przez punkty i poprowadzono proste prostopadłe do podstawy tego trójkąta, które wyznaczają na niej punkty i . Udowodnij, że .

Ciąg , jest geometryczny, ciąg jest malejącym ciągiem arytmetycznym oraz . Oblicz .

Dane są okręgi o równaniach i . Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których te okręgi mają dokładnie jeden punkt wspólny. Rozważ wszystkie przypadki.

Wielomian określony wzorem jest podzielny przez dwumian oraz przy dzieleniu przez dwumian daje resztę . Oblicz oraz pierwiastki wielomianu dla wyznaczonej wartości .

Rozwiąż równanie w przedziale .

Punkt leży na boku trójkąta oraz , , i . Oblicz obwód trójkąta .

Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których funkcja kwadratowa określona wzorem

ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste spełniające warunek .

Ze zbioru losujemy kolejno ze zwracaniem trzy liczby. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że dokładnie dwie spośród trzech wylosowanych liczb będą równe. Wynik zapisz w postaci ułamka nieskracalnego.

Podstawą ostrosłupa jest prostokąt , którego boki mają długości i . Ściany boczne i są trójkątami przystającymi i każda z nich jest nachylona do płaszczyzny podstawy ostrosłupa pod kątem . Ściany boczne i są trójkątami przystającymi i każda z nich jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem . Miary kątów i spełniają warunek: . Oblicz pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.