Matura (styczeń 2009, poziom podstawowy, próbna)

Funkcja jest określona wzorem

1. Podaj dziedzinę funkcji .

2. Podaj jej miejsca zerowe.

3. Naszkicuj wykres tej funkcji.

4. Podaj zbiór wartości funkcji .

Spośród cyfr losujemy kolejno dwa razy po jednej cyfrze ze zwracaniem. Tworzymy liczbę dwucyfrową w ten sposób, że pierwsza z wylosowanych cyfr jest cyfrą dziesiątek, a druga cyfrą jedności tej liczby. Oblicz prawdopodobieństwo utworzenia liczby większej od .

Uzasadnij, że dla każdego prawdą jest, że .

Liczba jest pierwszym wyrazem ciągu geometrycznego , którego iloraz jest równy . Pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego jest taki sam jak pierwszy wyraz ciągu . Suma siedmiu początkowych wyrazów ciągu jest równa sumie siedmiu początkowych wyrazów ciągu . Oblicz różnicę ciągu arytmetycznego .

Rozwiąż nierówność . Podaj wszystkie rozwiązania równania , które należą do zbioru rozwiązań tej nierówności.

Punkty , , są wierzchołkami trójkąta równoramiennego. Wyznacz równanie osi symetrii tego trójkąta.

Krawędź boczna ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem . Oblicz długość krawędzi sześcianu, którego objętość jest równa objętości tego ostrosłupa.

Dziadek założył w banku trzyletnią lokatę pieniężną o stałej rocznej stopie procentowej równej (już po uwzględnieniu podatków i prowizji). Odsetki są kapitalizowane po każdym roku trwania lokaty. Całość środków, otrzymanych z banku po zlikwidowaniu lokaty, dziadek podzielił równo pomiędzy dziewięcioro wnucząt tak, że każde z dzieci otrzymało . Oblicz początkową kwotę lokaty.

W trójkącie ostrokątnym bok ma długość , a wysokość jest równa . Punkt dzieli bok tak, że . Przez punkt leżący na odcinku poprowadzono prostą równoległą do prostej , odcinając od trójkąta trójkąt, którego pole jest cztery razy mniejsze niż pole trójkąta . Oblicz długość odcinka .

Doświadczalnie ustalono, że czas , liczony w sekundach, potrzebny na alfabetyczne ułożenie kartek z nazwiskami wyraża się, z dobrym przybliżeniem, wzorem . Ułożenie kartek trwa średnio sekund, a kartek średnio sekund. Wyznacz wzór funkcji i oblicz, ile kartek można ułożyć średnio w ciągu sekund.

Na zewnątrz kwadratu na bokach i zbudowano trójkąty równoboczne i . Uzasadnij, że trójkąt jest równoboczny.

W pewnej klasie liczba dziewcząt stanowi liczby osób w tej klasie. Gdy dziewcząt wyjechało na mecz siatkówki, w klasie pozostało tyle samo chłopców, ile dziewcząt. Oblicz, ile osób liczy ta klasa oraz ilu jest w niej chłopców.